Taxas relacionadas. preciso dessa resolução! me ajudem

Lely, boa tarde!

Condições do Problema

• Uma lâmpada está posicionada no solo, a 15 m de distância de um edifício.
• Um homem de 1,80 m de altura caminha do ponto da luz em direção ao edifício a uma velocidade constante de 1,2 m/s.

Objetivo

Calcular a velocidade de redução do comprimento da sombra do homem  quando ele está a 12 m e a 9 m do edifício.

Passo 1: Estabelecendo a Relação Inicial

A semelhança de triângulos nos dá a relação:

Onde:

• $H$ é a altura do homem (1,80 m).
• $D$ é a distância do homem ao edifício.
• $S$ é o comprimento da sombra no edifício.
• $L$ é a distância da lâmpada ao edifício (15 m).

Passo 2: Isolando $S$

A partir da relação de semelhança, isolamos $S$ para expressá-lo em função de $D$:

Passo 3: Derivação em Relação ao Tempo

Para encontrar a taxa de mudança do comprimento da sombra () em relação ao tempo, utilizamos a regra da cadeia. Sabemos que a distância do homem ao edifício ($D$) muda com o tempo à uma taxa constante de $=-1,2$ m/s. A taxa de mudança de $S$ em relação a $D$ e depois em relação ao tempo ($t$) é dada por:

Derivando S em relação a D, temos:

Vamos calcular essa derivada.

Passo 4: Calculando

Substituímos $H=1,8$ e $L=15$ na equação e derivamos: 

A derivada de $S$ em relação a $D$ se torna: 

Passo 5: Aplicando

Agora, multiplicamos pela taxa de mudança de $D$ com o tempo ($=-1,2$ m/s):

Passo 6: Substituindo $D=12$ e $D=9$

Para $D=12$ m:

Para $D=9$ m:

Conclusão

Esses resultados mostram que à medida que o homem se aproxima do edifício, a velocidade com que a sombra diminui aumenta. Isso é consistente com o entendimento intuitivo de que a sombra se "move" mais rapidamente quanto mais próximo o homem está do edifício, devido à alteração nos ângulos de projeção da luz.

 

 

Para resolver esse problema, podemos usar a semelhança de triângulos entre o homem, a lâmpada e a sombra do homem no edifício. Vamos chamar a distância entre o homem e o edifício de \( x \) e a distância entre a lâmpada e o edifício de \( y \). Quando o homem está a \( x \) metros do edifício, a altura da sombra dele no edifício é \( h \) metros. Pelo triângulo semelhante formado pela altura do homem, a altura da sombra e a distância entre o homem e o edifício, temos: \[ \frac{1,80}{h} = \frac{15}{x} \] Resolvendo para \( h \), obtemos: \[ h = \frac{15 \times 1,80}{x} = \frac{27}{x} \] Agora, a velocidade com que o comprimento da sombra diminui pode ser calculada derivando \( h \) em relação ao tempo \( t \): \[ \frac{dh}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{27}{x} \right) = -\frac{27}{x^2} \cdot \frac{dx}{dt} \] Sabemos que \( \frac{dx}{dt} = -1,2 \) m/s, pois o homem está se movendo em direção ao edifício. Então, precisamos calcular \( \frac{dh}{dt} \) quando \( x = 12 \) m e quando \( x = 9 \) m. 1. Quando \( x = 12 \) m: \[ \frac{dh}{dt} = -\frac{27}{12^2} \cdot (-1,2) = -\frac{27}{144} \cdot (-1,2) = \frac{27 \times 1,2}{144} = \frac{32,4}{144} \approx 0,225 \text{ m/s} \] 2. Quando \( x = 9 \) m: \[ \frac{dh}{dt} = -\frac{27}{9^2} \cdot (-1,2) = -\frac{27}{81} \cdot (-1,2) = \frac{27 \times 1,2}{81} = \frac{32,4}{81} \approx 0,400 \text{ m/s} \] Portanto, a velocidade com que o comprimento da sombra diminui é aproximadamente 0,225 m/s quando o homem está a 12 m do edifício e aproximadamente 0,400 m/s quando o homem está a 9 m do edifício.