Cálculo Diferencial: derivada sem mistério (com exemplos)

Cálculo diferencial: o que a derivada realmente mede?

Se você já viu a palavra “derivada” e pensou “ok, isso é só regra de conta”, aqui vai a ideia que resolve 80% da confusão: derivada é taxa de variação instantânea.

• Em Física: velocidade é a derivada da posição.

• Em Engenharia: a derivada aparece quando você quer sensibilidade (“se eu mexer um pouco em x, quanto y muda?”).

• Em provas: derivada é ferramenta para tangentes, extremos (máximo/mínimo) e otimização.

1) Intuição geométrica (reta tangente)

Considere uma função $y=f(x)$. Em um ponto x=ax, a derivada f′(a) é a inclinação da reta tangente naquele ponto.

Se a inclinação é positiva, a função “sobe”; se é negativa, “desce”. Se é zero, você está em um ponto com tangente horizontal (candidato a máximo/mínimo).

2) Definição formal (limite)

A derivada em x=ax é definida por:

​

Interpretação:

• ​ é a taxa média de variação entre $a$ e a+h.

• Quando h→0h, essa taxa média vira taxa instantânea.

3) Regras práticas de derivação (as mais cobradas)

Você quase nunca vai derivar “pela definição”. O normal é usar regras:

(a) Potência

Ex.:

(b) Constante e soma

(c) Produto

Ex.:

(d) Quociente

​

(e) Regra da cadeia (muito cobrada)
Se y=f(u) e u=g(x), então:

​

Ex.:

4) Aplicações que caem direto em prova

(i) Velocidade e aceleração

Se s(t) é posição:

Ex.:

(ii) Máximos e mínimos (otimização)

Para encontrar máximos/mínimos locais:

1. resolva f′(x)=0 (pontos críticos)

2. teste sinal (ou use f′′(x), quando aplicável)

Ex.:


Como é parábola “virada para baixo”, x=2 é máximo.

(iii) Aproximação linear (erro rápido)

Perto de x=a:

Isso é útil para estimativas e propagação de erro.

Exercícios rápidos (com resposta)

1) Derive
✅ ​

2) Derive
✅ ​

3) Encontre os pontos críticos de
✅

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