Olá Samue.
O Vetor Gradiente G é : (&f/&x , &f/&y).
- &f/&x = 2x+ y.cos(xy)
- &f/&y = x.cos(xy)
a)
G calculado em P(1,0) = (2+0, 1) = (2,1) o módulo de G = raiz(2^2+1^2)= raiz5
A derivada direcional (Dd) é o produto escalar do vetor gradiente G e o vetor unitário d. Assim Dd = móduloG. modulo[d.cos(teta)[ onde teta é o ângulo entre os dois vetores. Então 1 = raiz(5).cos(teta)
Então cos(teta) = raiz(5)/5.
Mas a Dd também é igual ao produto escalar entre G e d = (2,1).(x,y), pois d é uma direção qualquer d=(x,y) com módulo unitário, ou seja, d^2 = x^2 +y^2=1
2x+y=1 eq. I
x^2 +y^2=1 eq. II
( I ) em ( II ) --> y=1-2x x^2 + 1 -4x+4x^2=1 5x^2 -4x=0 Assim, x=0 ou x= 4/5
Então substituindo na equação II:
x=0 --> y^2=1 y= + - 1
x=4/5 --> y^2=1- 16/25 y= + - 3/5
Os vetores candidatos (0,1) , (0,-1) , (4/5 , 3/5) e (4/5 , -3/5).
Testando no produto escalar que calcula a derivada direcional (G.d=1):
- (2,1).(0,1)= 1 Ok
- (2,1).(0,-1)= -1 Não Ok, sentido oposto
- (2,1).(4/5 , 3/5)= 8/5 + 3/5= 11/5 Não Ok
- (2,1).(4/5 , -3/5)= 8/5 + 3/5= 5/5=1 Ok
Então d1(0,1) e d2(4/5 , -3/5) são as direções unitárias que resultam em derivada direcional com valor 1
b) a maior taxa de variação de f(x,y) em P ocorre na direção e sentido do vetor gradiente, ou seja em no vetor unitário g.
g= vetorG/módulo de G = (2,1)/raiz(5) = 1/5.( 2raiz(5) , raiz(5) )
Bons estudos !
