Mostre que a função fR->R dada por f(x)=x^1/3 não é diferenciável em x=0.
Por definição, esta função é diferenciável em x=0 se, e somente se, existe o limite
lim_{h->0} (f(0+h) - f(0)) / h.
Este limite, no caso dessa função, é
lim_{h->0} (h^{1/3} - 0)/h = lim_{h->0} 1 / h^{2/3}.
Mas lim_{h -> 0^+} 1/h^{2/3} = +infinito, logo já concluímos que o limite não existe. Portanto, x |-> x^{1/3} não é diferenciável no ponto 0.
Nosso amigo Lucas deu uma super resposta excelente! Eu queria só contribuir com um macetezinho:
Se f(x)=x(1/3), a derivada f'(x)=1/3.x(-2/3), ou seja, rola um 1/x(2/3). Como a conta de divisão por 0 é indefinida, a gente consegue já saber que a função não é derivável nesse ponto hehe
Se a(o) sua(seu) professorx for exigente com explicação teórica, sugiro seguir a abordagem do Lucas que é mais completa. Mas se for um tipo de professorx mais tranquilo, as vezes só isso já basta ;)
Bons estudos e grande abraço!
