Carlos está de férias em Las Vegas, e resolveu tentar a sort

Question

Carlos está de férias em Las Vegas, e resolveu tentar a sorte em um cassino. Seu jogo preferido é o de cartas, e resolveu apostar no naipe de copas. Se denotarmos X como a probabilidade de tirar cartas do naipe de copas, e considerarmos que Carlos participou de 7 sorteios, desejamos calcular a probabilidade aproximada de Carlos obter cartas do naipe de copas, em pelo menos 3 sorteios. Considere que em um baralho, a probabilidade de sair uma carta do naipe de copas é de 13 por 52.

Profes A. · Accepted Answer

Para resolver esse problema, podemos modelar a situação usando a distribuição binomial, que é apropriada para contar o número de sucessos em uma sequência de experimentos de Bernoulli (neste caso, o sucesso é tirar uma carta do naipe de copas).

1. Definindo os parâmetros

Número total de sorteios ( $n$ ): 7
Probabilidade de sucesso em um único sorteio ( $p$ ):

p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}

Probabilidade de fracasso ( $q$ ):

q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

2. Cálculo da probabilidade de obter pelo menos 3 cartas do naipe de copas

Queremos calcular $P (X \geq 3)$ , onde $X$ representa o número de cartas do naipe de copas obtidas em 7 sorteios. Podemos calcular isso usando a seguinte relação:

P (X \geq 3) = 1 - P (X < 3) = 1 - (P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2))

3. Cálculo das probabilidades $P (X = k)$

A probabilidade de obter exatamente $k$ sucessos em uma distribuição binomial é dada pela fórmula:

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} q^{n - k}

onde

(\binom{n}{k})

é o coeficiente binomial que representa o número de maneiras de escolher $k$

sucessos em $n$

tentativas.

Cálculo das probabilidades até $k = 2$ :

Para $k = 0$ :

P (X = 0) = (\binom{7}{0}) {(\frac{1}{4})}^{0} {(\frac{3}{4})}^{7}

= 1 \cdot 1 \cdot {(\frac{3}{4})}^{7} \approx 0.1335

Para $k = 1$ :

P (X = 1) = (\binom{7}{1}) {(\frac{1}{4})}^{1} {(\frac{3}{4})}^{6}

= 7 \cdot (\frac{1}{4}) \cdot {(\frac{3}{4})}^{6}

\approx 7 \cdot \frac{1}{4} \cdot 0.178031 = \frac{7 \cdot 0.178031}{4} \approx 0.3104

Para $k = 2$ :

P (X = 2) = (\binom{7}{2}) {(\frac{1}{4})}^{2} {(\frac{3}{4})}^{5}

= 21 \cdot (\frac{1}{16}) \cdot {(\frac{3}{4})}^{5}

= 21 \cdot \frac{1}{16} \cdot 0.2373046875 \approx 0.2756

4. Soma das Probabilidades

Agora somamos as probabilidades:

P (X < 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)

\approx 0.1335 + 0.3104 + 0.2756 \approx 0.7195

5. Cálculo da Probabilidade de Pelo Menos 3 Sucessos

Finalmente, a probabilidade de obter pelo menos 3 cartas do naipe de copas é:

P (X \geq 3) = 1 - P (X < 3) \approx 1 - 0.7195 = 0.2805

Resultado Final

A probabilidade aproximada de Carlos obter cartas do naipe de copas em pelo menos 3 sorteios é aproximadamente:

0.2805 ou 28, 05 %

Carlos está de férias em Las Vegas, e resolveu tentar a sort

1. Definindo os parâmetros

2. Cálculo da probabilidade de obter pelo menos 3 cartas do naipe de copas

3. Cálculo das probabilidades $P (X = k)$

Cálculo das probabilidades até $k = 2$ :

Para $k = 0$ :

Para $k = 1$ :

Para $k = 2$ :

4. Soma das Probabilidades

5. Cálculo da Probabilidade de Pelo Menos 3 Sucessos

Resultado Final

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Carlos está de férias em Las Vegas, e resolveu tentar a sort

1. Definindo os parâmetros

2. Cálculo da probabilidade de obter pelo menos 3 cartas do naipe de copas

3. Cálculo das probabilidades P(X=k)

Cálculo das probabilidades até k=2:

Para k=0:

Para k=1:

Para k=2:

4. Soma das Probabilidades

5. Cálculo da Probabilidade de Pelo Menos 3 Sucessos

Resultado Final

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3. Cálculo das probabilidades $P (X = k)$

Cálculo das probabilidades até $k = 2$ :

Para $k = 0$ :

Para $k = 1$ :

Para $k = 2$ :