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Mude a ordem de integração para resolver a seguinte integral

Engenharia
https://drive.google.com/open?id=1siOMBgRMw5uYHl_M9LphkqfzZ2kn_g-W O resultado da integral é: 2sin(2) +4cos(2) 4cos(2) 2sin2 + cos(2) 2sin(2) 4sin(2) + 2cos(2)
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Nathan perguntou há 6 anos

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Professora Christiane M.
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Respondeu há 6 anos
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Caro Nathan, Para fazer a mudança na ordem da integral é preciso desenhar o gráfico dos intervalos de itegração para determinar assim a região de integração e os novos limites. Os limites de integração são:
             0 <= x <= 4            e            √x <= Y <= 2
A partir do gráfico é possível determinar os novos limites que são: 
             0 <= x <= y2            e            0 <= Y <= 2
E a integral fica então  ∫02 ∫0y^2 cos(y) dx . dy  que resolvendo fica
∫02 cos(y) ∫0y^2dx . dy   =   ∫02 cos(y) . x Ι0y^2 .dy   =   ∫02 cos(y) . Y2 dy
Agora fazendo :   u = y2        e     dv = cos(y)dy
                        du = 2ydy    e     v = sen(y)
como ∫u.dv = u.v - ∫v.du  temos:   ∫02 cos(y) . Y2 dy  =  Y2. sen(y)Ι02 - ∫02 2.y.sen(y) dy
∫02 cos(y) . Y2 dy  =  Y2. sen(y) - ∫02 2.y.sen(y) dy
Agora fazendo :   u = 2y        e     dv = sen(y)dy
                        du = 2dy    e     v = -cos(y)       =>    ∫02 2.y.sen(y) dy = -2y.cos(y)Ι02 + ∫02 2.cos(y) dy 
  ∫02 cos(y) . Y2 dy  =  Y2. sen(y)Ι02 - (-2y.cos(y)Ι02 + ∫02 2.cos(y) dy)
  ∫02 cos(y) . Y2 dy  =  Y2. sen(y)Ι02 + 2y.cos(y)Ι02 - 2.sen(y) Ι02
  ∫02 cos(y) . Y2 dy  =  22. sen(2) - 0. sen(0) + 2.2.cos(2) - 2.0.cos(0) - (2.sen(2) - 2.sen(0) )
  ∫02 cos(y) . Y2 dy  =  4. sen(2) + 4.cos(2) - 2.sen(2) + 2.sen(0) 
  ∫02 cos(y) . Y2 dy  =  2. sen(2) + 4.cos(2) + 2.

 

 

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