Obtenha a parametrização pelo comprimento de arco

Olá, Thiago! 

Para questões desse tipo, onde queremos fazer a parametrização em função do comprimento de arco, a ideia chave é: você vai calcular o comprimento de arco pra um intervalo de tempo qualquer, escrever o tempo em função do comprimento de arco e substituir na expressão que você tem inicialmente. Para isso, vou resolver a questão que você propôs explicitando os passos:

1. Dada a curva r(t), irei calcular r'(t); isto é, a derivada do vetor que indica o traço da curva. Derivando, teremos:

2. Agora, vamos calcular o módulo da derivada r'(t) -> |r'(t)|. Ou seja, tirar o módulo desse vetor que achamos na derivada. Fazendo isso, teremos:

3. Num terceiro momento, iremos resolver a integral do módulo achado em (2) no intervalo de tempo desejado. Então, vamos ter:

s = integral [2/(t^2+1)] = 2arctan(t) + C     (Essa constante deve ser levada em consideração, mas aqui eu não levei ela em consideração para que a análise fique mais didática.)

4. Agora que já temos a expressão de t em função do comprimento de arco (s), podemos reparametrizar a curva:

DE FORMA RESUMIDA:

1 - Calcular a derivada da função r(t) ;

2 - Calcular o módulo da derivada r'(t) ;

3 - Resolver a integral do módulo |r'(t)| no intervalo de tempo qualquer ;

4 - Escrever t em função de s ;

5 - Substituir na expressão inicial ;

6 - A parametrização por comprimento de arco está pronta.

UMA VISÃO FÍSICA DO PROBLEMA DA INTEGRAL:

Imagine que sua curva r(t) é a posição da partícula ao longo do tempo. A derivada é a velocidade da partícula, ou seja, r'(t) = v(t).

Porém, para intervalos de tempo muito pequenos (dt), o produto v(t)dt é o comprimento percorrido ds.

Quando você resolve a integral do módulo da velocidade multiplicado pelo dt, é como somar cada pequeno deslocamento desse e obter o comprimento de arco da função desejada.

Espero que tenha ajudado! Um abraço!

OBS: Lembro que a constante C não foi levada em consideração para ficar mais didático. Porém, analisando que o problema parte de t = 0, deveria ter sido feita a substituição para identificar o valor de C e este seria levado em conta na hora de substituir t na função r(t) e transformá-la em r(s). Por isso, pode ser que o resultado por mim apresentado seja diferente do gabarito do livro devido a uma constante numérica.