Termodinâmica, entropia

a) Variação de Entropia de um gas ideal em um processo isotérmico (temperatura constante)

H: entalpia molar (entalpia por mol)
S: entropia molar (entropia por mol)
V: volume molar (volume por mol)
T: temperatura
P: pressão
R: constante universal dos gases
Cp: capacidade calorífica à pressão constante

Uma das relações fundamentais da termodinâmica

dH = T.dS + V.dP (1)

Variação de entalpia de um gás ideal

dH = Cp.dT (2)

Lei dos gases ideais

P.V = R.T (3)

Passos matemáticos

Substitui (2) em (1):

Cp.dT = T.dS + V.dP (4)

Isola V em (3) e substitui em (4):

Cp.dT = T.dS + (R.T/P).dP (5)

Isola dS em (5):

dS = Cp.dT/T - R.dP/P (6)

Pode-se seguir de dois modos a partir daqui.

Modo 1

Aplica a condição de temperatura constante antes de integrar a equação (6).
Como o processo é isotérmico, o termo dT em (6) é nulo, então pode-se anular a parcela com dT em (6) e fazer a integral:

dS = - R.dP/P
integral dS = -R.integral dP/P 
Delta_S = - R.ln(P2/P1) (7)

Modo 2

Aplica a condição de temperatura constante depois de integrar (6).
Nesse caso, embora a questão não tenha fornecido, considera-se o uso de um "Cp médio". Então, a integral de (6) fica:

integral dS = integral Cp.dT/T - R.integral dP/P
Delta_S = Cp_medio.ln(T2/T1) - R.ln(P2/P1) (8)

Como T1 = T2, então T2/T1 = 1 e o termo ln(T2/T1) é zero. Então (8) fica a mesma coisa de (7).

Finalizando o exercício (item "a")

Da equaçao (3) pode-se obter uma relação entre P2 e P1, visto que a temperatura é constante e V2 é o dobro de V1.

P.V = R.T = constante
P1.V1 = P2.V2
P2/P1 = V1/V2 = V1/(2.V1) = 1/2 (9)

Substitui esse restultado de (9) em (7):
Delta_S = - R.ln(1/2)
Delta_S = R.ln(2) (10)

Basta usar um valor de R com suas unidades de preferência e calcular o Delta_S na equação (10).