Vetor normal

Olá, Caio! Como vai?

Neste exercício, temos duas retas: r6 e r7. 

Para a primeira reta, temos a representação das equações paramétricas:

r6 {x = -3t // y = 3 3t // z = t}   ou    r6 {x = -3t // y = 3 + 3t // z = 1t}

As coordenadas do vetor direcional, v6, desta reta correspondem aos valores numéricos que acompanham o "t". 

 v6 = (-3, 3, 1) 

Para a outra reta, temos a representação das equações simétricas: 

r7 = x sobre 4 = y-2 sobre 3 = z+1 sobre 2   ou   r7 = x/4 = (y-2)/3 = (z+1)/2 

As coordenadas do vetor direcional, v7, desta reta correspondem aos valores numéricos que estão no denominador. 

 v7 = (4, 3, 2) 

O plano que contém as retas (r6 e r7) apresenta o vetor normal. 

O vetor normal é determinado fazendo o produto vetorial dos vetores v6 e v7. 

v6 x v7 = (-3, 3, 1) x (4, 3, 2)   => 

                | i     j     k |

v6 x v7 = | -3  3    1 |   =>   

               | 4    3    2 | 

v6 x v7 = 3*2*i + j*1*4 + k*(-3)*3 - k*3*4 - j*(-3)*2 - i*1*3   => 

v6 x v7 = 6*i + 4*j - 9*k - 12*k -(-6)*j - 3*i   => 

v6 x v7 = 6*i - 3*i + 4*j + 6*j - 9*k - 12*k   => 

v6 x v7 = 3*i + 10*j - 21*k   =>   v6 x v7 = (3, 10, -21) 

n = (3, 10, -21)

Portanto, o vetor normal do plano será n = (3, 10, -21). 

Espero ter ajudado. Bons estudos!!