Suponha que você estivesse em uma plataforma espacial e conseguisse cronometrar um evento ocorrido no interior de uma nave alienígena que passa próximo de você e obtivesse um intervalo de tempo de 0,65 s. Em seguida, ao consultar um catálogo de naves intergalácticas, você descobre que no interior dessa nave esse evento dura 0,60 s. Qual a velocidade da nave em relação à plataforma? (Dado: velocidade da luz no vácuo: c= 3,0 * 10^8 m/s.)
Para resolver essa questão, utilizaremos o conceito de dilatação do tempo da teoria da relatividade de Einstein. A dilatação do tempo ocorre quando um relógio em movimento é observado a partir de um sistema em repouso. A relação é dada pela fórmula:
[ \Delta t' = \Delta t \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} ]
onde: - (\Delta t') é o intervalo de tempo medido no sistema em movimento (nave alienígena), - (\Delta t) é o intervalo de tempo medido no sistema em repouso (plataforma espacial), - (v) é a velocidade da nave em relação à plataforma, - (c) é a velocidade da luz (c = (3,0 \times 10^8) m/s).
Neste caso, temos: - (\Delta t = 0,65 \text{ s}) - (\Delta t' = 0,60 \text{ s})
Substituindo os valores na fórmula, teremos:
[ 0,60 = 0,65 \sqrt{1 - \frac{v^2}{(3,0 \times 10^8)^2}} ]
Agora, isolamos o termo (\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}):
[ \sqrt{1 - \frac{v^2}{(3,0 \times 10^8)^2}} = \frac{0,60}{0,65} ]
Calculando (\frac{0,60}{0,65}):
[ \frac{0,60}{0,65} \approx 0,9231 ]
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado:
[ 1 - \frac{v^2}{(3,0 \times 10^8)^2} = (0,9231)^2 ]
Calculando ((0,9231)^2):
[ (0,9231)^2 \approx 0,8521 ]
Assim, temos:
[ 1 - \frac{v^2}{(3,0 \times 10^8)^2} \approx 0,8521 ]
Isolando (v^2):
[ \frac{v^2}{(3,0 \times 10^8)^2} \approx 1 - 0,8521 = 0,1479 ]
Agora multiplicamos ambos os lados por ((3,0 \times 10^8)^2):
[ v^2 \approx 0,1479 \times (3,0 \times 10^8)^2 ]
Calculando a parte direita:
[ (3,0 \times 10^8)^2 = 9,0 \times 10^{16} ]
Logo:
[ v^2 \approx 0,1479 \times 9,0 \times 10^{16} ]
Calculando isso:
[ v^2 \approx 1,3311 \times 10^{16} ]
Agora tiramos a raiz quadrada:
[ v \approx \sqrt{1,3311 \times 10^{16}} \approx 3,65 \times 10^8 \text{ m/s} ]
Assim, a velocidade da nave em relação à plataforma é aproximadamente:
[ v \approx 3,65 \times 10^8 \text{ m/s} ]
Isso corresponde a uma fração significativa da velocidade da luz.
Oi Agata, tudo bem? Vou esquematizar aqui o que eu faria..
Imagino que sua questão seja sobre Relatividade Restrita. Assumirei assim, caso contrário, o resultado newtoniano pode ser obtido tomando o limite não-relativístico , que corresponde à
.
Na plataforma espacial, seu tempo é o tempo próprio , que se relaciona com o tempo "t" em um referencial inercial fixado basicamente por um fator de Lorentz:
onde . Se você está supondo que a velocidade na nave é constante, então você nem precisa resolver a integral, pois, nesse caso, o fator de Lorentz sai da integral e o resultado de resume a
e daí é só isolar a velocidade e substituir os valores para o tempo próprio e o tempo inercial dados no exercício.
Por outro lado, se a velocidade da nave não é constante, o que você deve fazer é usar o teorema fundamental do cálculo pra conseguir isolar .
Observação: Relatividade é um tema bastante interessante, mas que infelizmente normalmente é mal dado nas universidades, especialmente quando considerado em disciplinas do tipo Física IV, Física V, etc., onde ele aparece junto com alguma coisa de Mecânica Quântica, estrutura da matéria, ondas, óptica, etc. Caso seja de seu interesse, tenho um pacote voltado para tentar ajudar a entender melhor esse amontoado de tópicos, tipicamente negligenciados.
Não sei exatamente qual sua formação, mas se estiver interessada em aprender Relatividade mais a fundo, como Relatividade Geral, Astrofísica, Cosmologia, etc., eu também ficaria feliz em ajudá-la.
Um abraço,
Yuri.
