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Question

Em um movimento harmônico simples, temos a seguinte função que representa a posição “x” de um corpo (em metros) para um certo instante “t” (em segundos): x(t) = 10cos [(8?/3) t ?/3]

A. Determine a posição desse corpo para os instantes t = 0 e t = 1 s

B. Determine a velocidade desse corpo para os instantes t = 0 e t = 1 s;

C. Determine a aceleração desse corpo para os instantes t = 0 e t = 1 s;

D. Após o início do movimento, qual é o primeiro instante “t” para o qual a aceleração do corpo
vale ZERO?

Viviane S. · Accepted Answer

A. Basta substituir os valores para t dados na equação x(t). B. Basta derivar x(t) com relação a t uma vez e substituir os valores para t dados. C. Basta derivar x(t) com relação a t duas vezes seguidas e substituir os valores dados para t. D. Iguale a(t) a  zero. Se a derivada segunda de x(t) resultar em seno, o argumento deve valer npi; se a derivada segunda se x(t) resultar em cosseno, o argumento deve valer (n+1/2)pi; n=0,1,2,...

Luis G. · Answer

Olá, Jonatan.

A sua função da posição do corpo $x$ em relação ao tempo $t$ é dada por

$x(t) = 10\cos\left(\frac{8\pi}{3}t\right)$ ---------------------------------(1)

Imagino que seja essa a função, de qualquer maneira a solução se dá mesma maneira, independente da função.

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### TEORIA ###

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Imagine que você está analisando o movimento de um corpo. Você quer saber como esse corpo se movimenta com o passar do tempo. Então você monta um gráfico da posição $x$ pelo tempo $t$ , $(x \ \text{vs.} \ t)$ . Assumindo uma origem - a posição que se encontra o corpo quando você começa a medida, $x(t = 0) = x_0$ - você começa a anotar o deslocamento desse corpo com o passar do tempo. Então para cada medida de tempo, temos uma posição, $x(t_1) = x_1, \quad x(t_2) = x_2, \quad x(t_3) = x_3$ e assim por diante. Montado o gráfico, você pode perceber que o movimento do corpo conicide com uma função matemática. Quando o corpo desenvolve um movimento periódico livre de atritos dizemos que ele descreve um movimento harmônico simples que são funções de seno e co-seno. Com isso podemos estimar a posição do corpo para qualquer tempo.

A partir desse momento temos uma função $x(t)$ que representa a posição do corpo em função do tempo. Sendo assim, a velocidade do cormpo com o passar do tempo, por definição, será

$v(t) \equiv \frac{d}{dt}x(t)$ ------------------------------------------------(2)

A velocidade instantânea é dada pela variação infinitesimal da poisção com respeito ao tempo.

Da mesma maneira, a aceleração será dada por

$a(t) \equiv \frac{d}{dt}v(t)$ -----------------------------------------------(3)

ou

$a(t) = \frac{d^2}{dt^2}x(t)$ ---------------------------------------------(4)

A aceleração instantânea é dada pela variação infinitesimal da velocidade com respeito ao tempo. O que equivale derivar a função de posição duas vezes.

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### RESOLUÇÃO ###

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Se a função de posição do corpo é dada pela Eq. (1), então a velocidade e a aceleração serão dadas respectivamente por

$v(t) = 10 \times \frac{8\pi}{3}\left( -\sin\left(\frac{8\pi}{3}t\right)\right)$