Olá, Leonardo. Tudo bem?
O exercício requer que façamos algumas simplificações que não estão exatamente explícitas.
Imagine que todos os moradores do prédio possuem a mesma massa m, e que todos os dias vão até o térreo INDIVIDUALMENTE e voltam para o andar em que moram, ok?
Além disso, considere também que o elevador só viaja em velocidade constante, de forma que a força que o elevador precisa exercer durante à viagem é igual, em módulo, ao peso de uma pessoa, independente se estamos na subida ou na descida. Como foi mencionado, despreze a energia gasta nas viagens em que o elevador está vazio.
Pronto, dito isso, vamos às contas. Recomendo que tenha um desenho com as informações que ele forneceu para acompanhar.
Imagine que estamos num andar qualquer, i.
Qual o gasto diário de energia com um morador desse andar?
É justamente o trabalho realizado para levá-lo até o térreo e voltar (que devem ser iguais, certo?). Como a força realizada pelo elevador é igual ao peso desse passageiro e ele anda i andares na subida e na descida, esse trabalho será:
2 x (ih) x (mg)
Tendo isso, qual será o gasto diário do elevador com o andar inteiro, que possui N pessoas?
Vai ser, é claro, N x 2 x (ih) x (mg)
Isso é para um andar qualquer. Como obtemos o gasto para o prédio inteiro?
Somamos essa expressão para cada um dos M andares (note que não é a mesma expressão para cada andar, então não podemos simplesmente multiplicar por M)
Ou seja, se E é o gasto energético
E = (N x 2 x 1h x mg) + (N x 2 x 2h x mg) + (N x 2 x 3h x mg) + ... + (N x 2 x (M-1)h x mg) + (N x 2 x Mh x mg)
Vamos agora retirar o fator comum, 2Nhmg:
E = 2Nhmg x [1 + 2 + ... + (M-1) + M]
Agora tem um pequeno truque: usar a expressão para a soma dos n primeiros inteiros (pensa na soma dos n primeiros termos de uma PA):
1 + 2 + ... + (n-1) + n = (1 + n)n/2
Portanto:
E = 2Nhmg x [1 + 2 + ... + (M-1) + M] = 2Nhmg x (1 + M)M/2 = (1 + M)MNmgh.
Se alguma passagem não tiver ficado clara, me avise que eu tento explicar de outra maneira.
Espero ter ajudado.
Abraço!
