Não. No italiano para dizermos "obrigado" temos que falar "grazie".
Existem suas variações, assim como "grazie infinite" e muitas outras, porém a palavra "ti" assim como a palavra "la" querem dizer "você".
Ciao BrÍgida. Na Itália, nos últimos anos e especialmente nas lojas ou restaurantes, os funcionários têm a particularidade de responder " A TE!" como sinonimo de "POR NADA/NÃO TEM DE QUE". Isto traz origem da uma outra forma: " GRAZIE A TE!" que corrisponde a " obrigado você/ sou eu que te agradeço". A TE se usa para ambos mas tem um sentido informal. No caso de um registro formal, o funcionário responderá " A LEI" (sempre para ambos os sexos).
Em italiano, o "ti" significa em alguns casos A TE. Exemplo: "Ti piace la pasta" pode também ser dito "A te piace la pasta?".... Em algumas regiões italianas utilizam o TE ao invés de TU. Es.: Ciao, te come ti chiami? Isso pode ser considerado erro, pois em italiano padrão seria: "Ciao, tu come ti chiami?". Em outros casos o TI pode ser o pronome objeto. Es.: Dove sei? Non ti vedo! (Onde você está ? Eu não vejo você).... Em outros casos, pode ser o TI reflexivo. Es.: A che ora TI ALZI? (Que horas você se levanta?).