A figura apresentada é composta de alguns polígonos convexos, entre os quais estão destacados:
• em cinza-escuro, 2 pentágonos regulares congruentes e 2 hexágonos regulares congruentes;
• em branco, 2 losangos congruentes e 3 triângulos equiláteros;
• em cinza-claro, 2 trapézios isósceles.
Quanto vale a soma dos ângulos ? e ? destacados nos trapézios?
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A) 108°
B) 114°
C) 120°
D) 132°
E) 135°
Não há como colocar figuras aqui, vou explicar com palavras:
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é
onde n é o número de lados.
Para o hexágono:
Si=180.(6-2)=720
Assim cada ângulo interno do hexágono (regular) mede 720/6=120 graus
Para o pentágono:
Si=180.(5-2)=540
Assim cada ângulo interno do pentágono (regular) mede 540/5=108 graus.
Vou usar como referência o hexágono e o pentágono da direita
Vamos dar nome aos vértices do pentágono. Começando no vértice superior, no sentido horário, chamei de A, B, C, D e E.
Para o hexágono, começando no vértice "da direita", sentido horário, chamei de F, G H, I, D e C (observe que D e C são vértices do pentágono também).
Coloque os valores dos ângulos calculados nos ângulos (internos) D e E do pentágono, e I do hexágono.
No vértice D, fazendo uma volta inteira, temos 360 graus. Então o ângulo interno do losango em D mede 360-108-120=132 graus. O outro ângulo do losango (oposto e este) mede 132 também. Como a soma dos ângulos do losango (que é um quadrilátero) é 360 graus, cada um dos outros ângulos (x) pode ser obtido de x+132+x+132=360, portanto x=48 graus (ângulo "de cima" e "de baixo" do losango).
Em um triângulo equilátero, cada ângulo interno mede 60 graus.
No vértice I do hexágono, dando a volta inteira, calculamos o ângulo interno "de baixo" do trapézio isósceles de baixo: 360-120-60-60-48=72 (este é um dos ângulos pedidos). Os ângulos "de baixo" são congruentes (mesma medida) entre si, e os "de cima" também. Assim, fazendo a soma dos quatro ser 360 graus, cada ângulo "de cima" mede 108 graus.
Agora passamos ao trapézio de cima. No vértice "da esquerda" do losango, dando a volta inteira, calculamos o ângulo "de baixo" do trapézio como 360-132-108=120 graus. Fazendo a soma dos quatro ângulos do trapézio ser 360 graus, cada ângulo "de cima" mede 60 graus (é o outro ângulo pedido).
A soma pedida é 72+60=132 graus.
