Como calcular a somo dos termos de uma progressão geométrica

Question

Profes A. · Accepted Answer

Para calcular a soma dos termos de uma progressão geométrica (PG), você pode utilizar a seguinte fórmula:

S_{n} = a_{1} \frac{1 - r^{n}}{1 - r}

onde: - $S_{n}$ é a soma dos $n$ primeiros termos da PG, - $a_{1}$ é o primeiro termo da PG, - $r$ é a razão da PG (o fator constante pelo qual você multiplica cada termo para obter o próximo), - $n$ é o número total de termos que você deseja somar.

Observações:

A fórmula acima é válida para $r \neq 1$ .
Se $r = 1$ , todos os termos são iguais a $a_{1}$ , e a soma dos $n$ primeiros termos é simplesmente $S_{n} = n \cdot a_{1}$ .

Exemplo:

Suponha que você tenha uma PG com $a_{1} = 3$ , $r = 2$ e deseja somar os primeiros 4 termos. Os termos seriam:

1º termo: $3$
2º termo: $3 \cdot 2 = 6$
3º termo: $3 \cdot 2^{2} = 12$
4º termo: $3 \cdot 2^{3} = 24$

Agora, usando a fórmula:

S_{4} = 3 \frac{1 - 2^{4}}{1 - 2} = 3 \frac{1 - 16}{- 1} = 3 \cdot 15 = 45

Portanto, a soma dos primeiros 4 termos da PG é 45.

Silas A. · Answer

Para calcular a soma dos termos de uma progressão geométrica (PG), você pode utilizar diferentes fórmulas dependendo do tipo de PG (finita ou infinita) e dos valores envolvidos.

Soma dos primeiros termos de uma PG finita

Se a razão :

$q^n?1/ q-1 (q^n leia q elevado a n)$

Onde:

é a soma dos $n$ primeiros termos.
é o primeiro termo da PG.
é a razão da PG.
é o número de termos.

Se a razão

Soma de uma PG infinita (quando )

Para uma PG infinita convergente, onde o valor absoluto da razão é menor que 1:

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Observações:

Exemplo:

Soma dos primeiros termos de uma PG finita

Soma de uma PG infinita (quando )

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Exemplo:

Soma dos n primeiros termos de uma PG finita

Soma de uma PG infinita (quando ?q?<1)

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