Conjuntos numéricos!

Ficaram faltando as assertivas. 

Quando um número natural n é dividido por 11, deixa resto 3, então n=11k+3 , onde k é outro número natural. Substituindo n por 11k+3em 2n+1, temos 2(11k+3)+1=22k+7. Portanto, quando 2n+1 é dividido por 11, o resto é 7. Agora a multiplicação de dois números irracionais distintos produz um número cuja raiz quadrada é irracional ou racionaL TAMBÉM. Por exemplo, raiz de 2 x raIz de 3= raiz de 6 que é é irracional, logo o produto desses dois irracionais distintos é irracional. Mas considere raiz de 2 x Raiz de 8 = Raiz de 16=4, logo é racional. Portanto a afirmativa não é verdadeira sempre.

Para resolver esse problema, vamos usar a informação de que $n$ quando dividido por 11 deixa resto 3. Isso pode ser expresso pela congruência: $n?3(\mathrm{mod}11)$

Queremos encontrar o resto da divisão de $2n+1$ por 11. Primeiro, substituímos $n$ na expressão $2n+1$: $2n+1?2?3+1(\mathrm{mod}11)$ $2n+1?6+1(\mathrm{mod}11)$ $2n+1?7(\mathrm{mod}11)$

Portanto, o resto da divisão de $2n+1$ por 11 é 7\boxed{7}7?.

1. Resto da divisão de $2n+1$ por 11

Sabemos que um número natural $n$ quando dividido por 11 deixa resto 3. Isto pode ser escrito como:

$n=11k+3$ para algum inteiro k

$2n+1$

$2n+1=2(11k+3)+1=22k+6+1=22k+7$

Agora, dividimos 22k+722k + 722k+7 por 11. Note que 22k é divisível por 11, então apenas precisamos considerar o 7: 

22k+7?7(mod11)

Portanto, o resto da divisão de 2n+12n + 12n+1 por 11 é 7

2.Significado dos símbolos ? e ? (A e E invertidos)

Os símbolos ? (A invertido) e ? (E invertido) são usados em lógica matemática e teoria dos conjuntos.

• ? (A invertido): Significa "para todo" ou "para cada". É o símbolo de universalidade.

  • Exemplo: ?x ? ?, x^2 ? 0 (Para todo x pertencente aos números reais, x^2 é maior ou igual a 0).

• ? (E invertido): Significa "existe" ou "existe ao menos um". É o símbolo de existência.

  • Exemplo: ?x ? ?, x^2 = 4 (Existe um x pertencente aos números reais tal que x^2 é igual a 4).

    3. Produto de dois números irracionais distintos

    A frase "O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional" não é sempre verdadeira. Isso ocorre porque o produto de dois números irracionais pode ser racional ou irracional.

    Portanto, a frase "O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional" é falsa porque há contra-exemplos onde o produto de dois irracionais é racional.

  • 4.Quantidade de elementos do conjunto $\{\}$

    O conjunto dado é o conjunto vazio, representado por $\{\}$ ou ?. O conjunto vazio não contém elementos. Portanto, a quantidade de elementos do conjunto vazio é: 0