Seja f : R para R uma fun¸cão tal que |f(x) - f(y)| = |x - y| para quaisquer x, y pertencente R.

(i) Pondo f(0) = a, defina a fun¸cão g : R para R assim: g(x) = f(x) - a. Prove então que |g(x)| = |x| para todo x pertencente  R. Em particular, g(1) = 1 ou g(1) = -1. Tamb´em (g(x))^2 = x^2

(ii) Use a identidade xy =1/2 [x^2+y^2-(x-y)] para mostrar que xy = g(x) · g(y).

(iii) Se g(1) = 1, mostre que g(x) = x para todo x pertencente  R. Se      g(1)= -1, mostre que g(x) = -x para todo x.

(iv) Conclua que f(x) = x + a para todo x pertencente R ou então f(x) = -x + a para todo x.