Considere um consumidor que possui função utilidade dada por: U:R²->R, dada por: U(X1,X2)=X1^aX2^1-a. O objetivo do consumidor é maximizar U sujeito a restrição orçamentária p1x1 + p2x2 <=I, em que p1 e p2 são os preços dos bens X1 e X2. Responda:
a.Encontre a Condição de Segunda Ordem e mostre sobre quais condições a Condição de primeira ordem satisfaz um máximo.
b. O governo resolveu restringir o consumo do bem x1 ao impor o seguinte racionamento: X1 <= K. Resolva o novo problema.
Para a parte a) do problema, você precisa calcular o laplaciano da função U(X1, X2)
?²U = -a(1-a)(1/X1² + 1/X2²)U(X1, X2)
e, para 0<a<1 e X1, X2, U(X1, X2) > 0, vemos que esse laplaciano é negativo sempre (uma função convexa) e qualquer solução ótima será um máximo local do problema.
Para a parte b) do problema, você precisa observar que U, além de convexo, possui derivadas positivas ?U/?X1, ?U/?X1 > 0. Se a função é crescente tanto em X1 quanto em X2, o máximo será encontrado em uma das duas curvas que marcam as restrições orçamentárias
p1 X1 + p2 X2 = I
ou
X1 = K.
Na prática, é necessário resolver o problema com a restrição p1 X1 + p2 X2 = I e checar se a solução satisfaz a segunda restrição:
X1 = I a/p1 < K
e caso não satisfaça, deve-se escolher o ponto onde ambas as restrições se encontram:
X1 = K
e
X2 = (I - p1 K)/p2
