E215) (*) João, Carlos e Maria começaram a resolver uma list

Question

E215) (*) João, Carlos e Maria começaram a resolver uma lista de problemas de matemática juntos, sendo que cada um precisava resolver todos os problemas. Cada um trabalha a uma taxa constante. João resolveu 12 problemas por dia e terminou a lista 3 dias depois de Carlos. Maria resolveu 3 problemas a mais que Carlos a cada dia, e terminou a lista dois dias antes de Carlos. Quantos dias levou Maria para terminar a lista?

Profes A. · Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos identificar a quantidade de problemas que havia na lista e a taxa de resolução de problemas de cada uma das três pessoas: João, Carlos e Maria. Vamos usar variáveis para representar esses valores e, então, determinar o tempo que Maria demorou para terminar a lista.

Vamos definir:

$n$ como o número total de problemas na lista.
$c$ como o número de problemas que Carlos resolve por dia.
$t_{C}$ como o tempo (em dias) que Carlos levou para terminar a lista.

Sabemos que:

João resolve 12 problemas por dia e terminou 3 dias depois de Carlos:

n = 12 \times (t_{C} + 3)

Maria resolve $c + 3$ problemas por dia e terminou 2 dias antes de Carlos:

n = (c + 3) \times (t_{C} - 2)

Carlos resolve $c$ problemas por dia, então:

n = c \times t_{C}

Como todas as expressões são iguais a $n$ , podemos igualá-las:

$12 \times (t_{C} + 3) = c \times t_{C}$
( (c + 3) \times (t_C - 2) = c \times t_C )

Agora, vamos resolver o sistema para encontrar $t_{C}$ e $c$ .

De $12 \times (t_{C} + 3) = c \times t_{C}$ :

12 t_{C} + 36 = c t_{C}

De ( (c + 3) \times (t_C - 2) = c \times t_C ):

c t_{C} + 3 t_{C} - 2 c - 6 = c t_{C}

3 t_{C} - 2 c - 6 = 0

Agora, resolvendo essas equações:

$12 t_{C} + 36 = c t_{C}$

Substituindo o valor de $c$ da segunda equação $c = \frac{3 t_{C} - 6}{2}$ :

12 t_{C} + 36 = \frac{3 t_{C} - 6}{2} \times t_{C}

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:

24 t_{C} + 72 = (3 t_{C} - 6) \times t_{C}

Expansão:

24 t_{C} + 72 = 3 t_{C}^{2} - 6 t_{C}

Organizando:

3 t_{C}^{2} - 30 t_{C} - 72 = 0

Podemos simplificar, dividindo tudo por 3:

t_{C}^{2} - 10 t_{C} - 24 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática $t_{C} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ :

b = - 10, c = - 24

t_{C} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}

t_{C} = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2}

t_{C} = \frac{10 \pm 14}{2}

As soluções são $t_{C} = 12$ e $t_{C} = - 2$ . Como o tempo não pode ser negativo, temos $t_{C} = 12$ .

Assim, Carlos leva 12 dias, e Maria, terminando 2 dias antes, leva:

12 - 2 = 10 dias

Portanto, Maria levou 10 dias para terminar a lista.

E215) (*) João, Carlos e Maria começaram a resolver uma list

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