Espaços vetoriais

Seja V um espaço vetorial sobre o corpo ℝ. Prove que: A) Para quaisquer k∈R e 0 ∈V, k0=0 B) Para 0 ∈R e para qualquer v ∈V, 0.v=0 C Se kv=0, para k∈R e v ∈V, então k=0 ou v=0

Matemática

1 resposta

Professor Pedro B.

Respondeu há 4 anos

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Boa tarde (quase noite)!

Mostremos que para qualquer escalar , temos que , onde é o vetor nulo do espaço vetorial . Veja que , assim podemos reescrever como , obtendo

Mostremos que para qualquer vetor temos que . De fato, se supormos por absurdo que , tomando um escalar qualquer, temos o seguinte

mas isso é absurdo pois supomos que , logo, resta apenas que para qualquer vetor .

Suponha que e , se supormos agora , teríamos que ter , mas como , ou seja, do item , segue que , o que não ocorre, pois supomos , portanto, chegamos à um absurdo, o que implica que uma das duas coisas coisas deve ocorrer: ou .