Vamos considerar o segmento AB como a base do triângulo e então o seu comprimento é dado pela fórmula da distância entre dois pontos:
dAB = √[(XA-XB)2 + (YA-YB)2 + (ZA-ZB)2] = √[(2-0)2 + (1-2)2 + (-1-1)2] = √(22 + 12 + 22) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3
O vértice C pode ser escrito como C (0,0,z) uma vez que está sobre o eixo Z.
A distância entre este ponto e a reta r determinada por AB nos dá a altura deste triângulo, que pode ser calculada por:
h = d(C,r) = |v x u|/|v| (i), onde v é o vetor diretor determinado pelos vétices A e B e pode ser calculado da seguinte forma:
v = (xB - xA, yB - yA, zB - zA) = (0-2,2-1,1-(-1)) = (-2,1,2)
e u é um vetor determinado pelos vétices A e C:
u = (xc - xA, yC - yA, zC - zA) = (0-2,0-1,z-(-1)) = (-2,-1,z+1)
v x u = |i j k; -2 1 2; -2 -1 z+1| = (z+3)i + (2z-2)j + 4k -> (z+3,2z-2,4), logo aplicando a norma:
|v x u| = √[(z+3)2 + (2z-2)2 + 42]
|v| = dAB = 3
A fórmula da área é dada por: A = (dAB.h)/2. Aplicando (i) na expressão:
[(|v x u|/|v|).3]/2 = 6 -> {[(√[(z+3)2 + (2z-2)2 + 42])/3].3}/2 = 6 -> simplificando e elevando ao quadrado:
[(z+3)2 + (2z-2)2 + 42]/4 = 36 -> z2 + 12z + 9 + 4z2 - 8z + 4 + 16 = 144 -> 5z2+4z - 115 = 0
logo: z = 4,4125 ou z = -5,2125.
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