Geometria analítica - exercícios

Professor Márcio C.

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Respondeu há 5 anos

Vamos considerar o segmento AB como a base do triângulo e então o seu comprimento é dado pela fórmula da distância entre dois pontos:

dAB = √[(X_A-X_B)² + (Y_A-Y_B)² + (Z_A-Z_B)²] = √[(2-0)² + (1-2)² + (-1-1)²] = √(2² + 1² + 2²⁾ = √(4 + 1 + 4) =  √9 = 3

O vértice C pode ser escrito como C (0,0,z) uma vez que está sobre o eixo Z.

A distância entre este ponto e a reta r determinada por AB nos dá a altura deste triângulo, que pode ser calculada por:

h = d(C,r) = |v x u|/|v| (i), onde v é o vetor diretor determinado pelos vétices A e B e pode ser calculado da seguinte forma:

v = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (0-2,2-1,1-(-1)) = (-2,1,2)

e u é um vetor determinado pelos vétices A e C:

u = (x_c - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (0-2,0-1,z-(-1)) = (-2,-1,z+1)

v x u = |i j k; -2 1 2; -2 -1 z+1| = (z+3)i + (2z-2)j + 4k  -> (z+3,2z-2,4), logo aplicando a norma:

|v x u| = √[(z+3)² + (2z-2)² + 4²]

|v| = dAB = 3

A fórmula da área é dada por: A = (dAB.h)/2. Aplicando (i) na expressão:

[(|v x u|/|v|).3]/2 = 6 -> {[(√[(z+3)² + (2z-2)² + 4²])/3].3}/2 = 6 -> simplificando e elevando ao quadrado:

[(z+3)² + (2z-2)² + 4²]/4 = 36 -> z² + 12z + 9 + 4z² - 8z + 4 + 16 = 144 -> 5z²+4z - 115 = 0

logo: z = 4,4125 ou z = -5,2125.

Qualquer dúvida pode me chamar no Whatsapp (11) 97518-5247