Quando temos de resultado de um limite calculado a (um número qualquer menos zero) a dividir por 0, qual seria a resposta a essa divisão? Sei que 0, dependendo da função, vai tender para mais ou menos infinito, mas não sei como saber isso através da função. Alguém me poderia explicar como se sabe através da função isso? Que o zero tende para mais infinito ou para menos infinito?
Olá Catarina,
Não se pode generalizar que quando o limite do denominador de uma função tende a zero, então a função tende a mais infinito ou menos infinito. Vamos pegar, por exemplo, o caso de , quando
tende a zero pela direita, a função cresce rapidamente, portanto
, mas quando
tende à zero pela esquerda, a função decresce rapidamente, ou seja,
, portanto, o limite de
não existe quando
.
Para o caso de , entretanto, note que quando nos aproximamos de zero tanto pela esquerda, quando pela direita, a função cresce rapidamente, portanto
. É claro que todos esses resultados podem ser provados sem dificuldades usando a definição de limites infinitos, sugiro tentar prová-los.
Determinar quando um limite assume valor infinito, menos infinito, ou não existe depende da função, e não existe uma regra geral para determiná-lo, cada caso é um caso.
Considere um exemplo um pouco mais geral, onde a função é do tipo , onde
é um polinômio do segundo grau, e você quer analisar o limite quando
tende a alguma das raízes de
, quando você analisa o limite à esquerda e à direita, você tem algumas possibilidades
Nos dois primeiros casos, o limite não existe, pois os limites laterais tendem a mais infinito e a menos infinito. Nos últimos dois casos, a função tende à infinito no penúltimo caso, e a menos infinito no último caso.
Você pode ainda tentar generalizar essa intuição para o quociente de dois polinômios, e ainda mais, para o quociente de duas funções onde você analisa o limite em uma das raízes da função no denominador, é claro que o grau de complexidade de cada generalização vai aumentando, entretanto, isso mostra que não existe uma regra geral, o que você deve analisar é o sinal da função no denominador para cada limite lateral.
Espero ter ajudado!
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