O número de divisores positivos de 10²⁰¹⁵ que são múltiplos

Para resolver essa questão, primeiro é importante entender a estrutura dos divisores de ${10}^{2015}$ e as condições que esses divisores precisam satisfazer.

Primeiro, vamos considerar a forma fatorada de $10$:

Logo, podemos escrever:

Da mesma forma:

Precisamos encontrar os divisores de ${10}^{2015}$ que são múltiplos de ${10}^{2000}$:

Um divisor $d$ de ${10}^{2015}$ que também é múltiplo de ${10}^{2000}$ pode ser escrito como:

onde $2000\le a\le 2015$ e $2000\le b\le 2015$. Isso porque $d$ precisa ser divisível por ${10}^{2000}=2^{2000}\times 5^{2000}$.

Agora, determine quantos valores $a$ e $b$ podem assumir:

• Para $a$, os valores possíveis são $2000,2001,\dots ,2015$. Isso dá um total de $2015-2000+1=16$ opções.
• Para $b$, os valores possíveis também são $2000,2001,\dots ,2015$. Isso também dá $16$ opções.

Assim, o número total de divisores $d$ que satisfazem essas condições é o produto do número de escolhas possíveis para $a$ e $b$:

Portanto, a opção correta é (D) 256.