Estou aqui com a demonstração do Spivak, no entanto não concordo com ela. O fato dela usar o Teorema de Cauchy tudo bem, mas para tal eu teria de provar que F(x)/G(x) é continua num intervalo [a,b] e derivavel em (a,b) a questão é que o spivak diz o seguinte : A regra de L'hospital supões que o Lim de F'(x)/G'(x) existe e a partir disso ele afirma que F'(x) e G'(x) existem para todo x num intervalo (a-delta,a+delta) eu discordo. por definição o ponto a tem que ser um ponto de acumulação do dominio se tomarmos F(x) = x com dominio de racionais temos que 0 é um ponto de acumulação do dominio, e o lim f(x) com x tendendo a 0 existe e vale 0, entao existe algum intervalo tal que (a-delta, a+ delta) está definido para todo x nesse intervalo? não , Não existe. eu concordo que se para todo x no dominio então é verdade, mas ele não fala isso. Posteriormente ele cria uma função acessória com f(a) e g(a) = 0, e entao a função se torna continua em a, concordo. mas a partir da suposição anterior ele afirma que como f'(x) e g'(x) existem para todo x num intervalo entao existe um intervalo ao (a, a+ delta) derivavel, Bem estou bem confuso com essas suposições a pagina 202 da 3 edição do livro segue o pdf https://notendur.hi.is/mbh6/html/_downloads/Calculus%20-%20Michael%20Spivak.pdf