(1) Mostremos que é reflexiva:
Seja x E Z, tem-se que x - x = 0 e assim, existe k=0 E Z tal que x - x = 0.m e portanto x = x(mod m)
(2) Mostremos que é simétrica:
Seja x = y(mod m), pela definição de congruência, tem-se:
x - y = k.m, com k E Z
Agora, note que x - y = k.m => y - x = (-k).m sendo -k E Z, portanto, y=x(mod m)
(3) Mostremos que é transitiva:
Seja x = y(mod m) e y = z(mod m), pela definição de congruência temos:
x - y = m.k com k E Z (relação 1)
e
y - z = m.h com h E Z (relação 2)
Da relação 1, segue que:
y = x - m.k
Agora, substituímos o valor de y encontrado, na relação 2:
(x - m.k) - z = m.h => x - z = m.(h + k)
Como h e k são ambos inteiros, a soma h + k também será um número inteiro, logo x=z(mod m).
Assim, por (1), (2) e (3), podemos afirmar que é uma relação de equivalência.
Espero ter ajudado.
