Boa tarde Daniel, tudo bem?
Bom primeiramente, lembre-se que o volume de um sólido de revolução, gerado pela rotação da função f em torno do eixo-x e limitada pelas relas x = a e x = b, é dado pela expressão:
V = pi . int[a,b]{ [f(x)]² }dx
OBSERVAÇÃO: a minha notação int[a,b]{ f(x) }dx, representa a integral de f de a até b em relação à x.
Assim, observe que pela construção da sua situação temos que f está limitada pelas retas x = 1 e x = e, a reta x = 1 é encontrada pois é o ponto de interseção entre o gráfico da f com o eixo-x, tente desenhar e você entenderá o porquê disso. Dessa forma, temos o volume deste sólido dado por:
V = pi . int[1,e]{ ln²(x) }dx (*)
Vamos resolver esta integral por partes, fazendo u = ln²(x) e dv = 1, ou seja, v = x e du = 2.ln(x)/x, ou seja, u.v = x.ln²(x) e v.du = 2ln(x). Mas a integral indefinida de ln(x) é x.ln(x) - x + C (mostre isso, é simples, faça por partes). Assim, substituindo toda essa informação em (*), temos:
V = pi[ (e.ln²(e) - ln²(1)) - int[1,e]{ 2ln(x) }dx] =
= pi[ e - 2( e.ln(e) - e - 1ln(1) +1) ] = pi[e - 2].
Resumindo, o volume do solido que buscamos é dado por V = pi(e - 2).
Espero ter ajudado.
