Como Encontrar as Raízes de uma Equação Quadrática

Encontrar as raízes de uma equação do 2º grau pode parecer complicado, mas com a fórmula de Bhaskara, esse processo se torna simples e direto. A fórmula ajuda a determinar os valores de $x$ que tornam a equação quadrática verdadeira. Neste artigo, vamos explorar a fórmula de Bhaskara de forma didática, com exemplos resolvidos e dicas que facilitarão o entendimento e a aplicação dessa importante ferramenta.

🔹 O que é uma Equação do 2º Grau?

Uma equação do 2º grau é uma igualdade matemática que envolve um polinômio do segundo grau, ou seja, o termo com a variável $x$ está elevado à potência 2. A forma geral de uma equação quadrática é:

ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0

Onde:

• $a$, $b$ e $c$ são coeficientes numéricos,

• $x$ é a variável que queremos encontrar.

O objetivo é determinar os valores de $x$ que tornam a equação verdadeira.

🔹 Fórmula de Bhaskara: Como Encontrar as Raízes?

A fórmula de Bhaskara é uma das maneiras mais eficazes para resolver uma equação do 2º grau. Ela nos fornece as raízes de uma equação quadrática, que são os valores de $x$ que satisfazem a equação.

A fórmula é dada por:

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac​​

Onde:

• $a$, $b$ e $c$ são os coeficientes da equação quadrática ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0,

• O termo b2−4ac\sqrt{b^2 - 4ac}b2−4ac​ é chamado de discriminante.

🔹 Passo a Passo para Resolver Usando a Fórmula de Bhaskara

Passo 1: Identifique os coeficientes

Primeiro, identifique os valores de $a$, $b$ e $c$ na equação quadrática. Lembre-se de que a equação deve estar na forma ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0.

Exemplo:
Se tivermos a equação 2x2+3x−2=02x^2 + 3x - 2 = 02x2+3x−2=0, temos:

• $a=2$,

• $b=3$,

• $c=-2$.

Passo 2: Calcule o discriminante

O discriminante é dado por b2−4acb^2 - 4acb2−4ac. Substitua os valores de $a$, $b$ e $c$ na fórmula.

Exemplo:
Para a equação 2x2+3x−2=02x^2 + 3x - 2 = 02x2+3x−2=0:

• b2=32=9b^2 = 3^2 = 9b2=32=9,

• $4ac=4\times 2\times (-2)=-16$,

• O discriminante é:

  $$\Delta =9-(-16)=9+16=25$$

Passo 3: Calcule as raízes

Agora, aplique a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação.

A fórmula é:

x=−b±Δ2ax = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}x=2a−b±Δ​​

Substitua os valores de $b$, $\Delta$ e $a$:

x=−3±252×2x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \times 2}x=2×2−3±25​​

Passo 4: Resolva as operações
Primeiro, calcule a raiz quadrada do discriminante (25=5\sqrt{25} = 525​=5), depois calcule as duas possibilidades (uma com o sinal $+$ e outra com o sinal $-$):

1. Primeira raiz (usando o $+$):

x1=−3+54=24=12x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}x1​=4−3+5​=42​=21​

2. Segunda raiz (usando o $-$):

x2=−3−54=−84=−2x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2x2​=4−3−5​=4−8​=−2

Passo 5: Escreva a solução

As raízes da equação 2x2+3x−2=02x^2 + 3x - 2 = 02x2+3x−2=0 são:

x1=12,x2=−2x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -2x1​=21​,x2​=−2

Resposta:
As raízes da equação são x=12x = \frac{1}{2}x=21​ e $x=-2$.

🔹 Exemplo 2: Quando o Discriminante é Negativo

Se o discriminante for negativo, significa que não há raízes reais para a equação, apenas raízes complexas.

Equação:

x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0x2+2x+5=0

Passo 1: Identifique os coeficientes:
$a=1$, $b=2$, $c=5$.

Passo 2: Calcule o discriminante:

Δ=b2−4ac=22−4×1×5=4−20=−16\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16Δ=b2−4ac=22−4×1×5=4−20=−16

Passo 3: Como $\Delta =-16$ (negativo), as raízes serão complexas. A solução será:

x=−2±−162×1=−2±4i2x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2 \times 1} = \frac{-2 \pm 4i}{2}x=2×1−2±−16​​=2−2±4i​

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Passo 4: Simplifique as raízes:

x1=−2+4i2=−1+2ix_1 = \frac{-2 + 4i}{2} = -1 + 2ix1​=2−2+4i​=−1+2i x2=−2−4i2=−1−2ix_2 = \frac{-2 - 4i}{2} = -1 - 2ix2​=2−2−4i​=−1−2i

Resposta:
As raízes da equação x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0x2+2x+5=0 são x1=−1+2ix_1 = -1 + 2ix1​=−1+2i e x2=−1−2ix_2 = -1 - 2ix2​=−1−2i, ou seja, raízes complexas.

🔹 Dicas para Não Errar

• Sempre verifique o discriminante (b2−4acb^2 - 4acb2−4ac): Ele determina se as raízes são reais ou complexas.

• Quando o discriminante for negativo, as raízes serão complexas.

• Cuidado ao calcular o valor de ±Δ\pm \sqrt{\Delta}±Δ​: Lembre-se de calcular tanto a raiz positiva quanto a negativa.

• Verifique a solução substituindo os valores de $x$ na equação original para garantir que ambas as soluções sejam válidas.

🔹 Exercícios Propostos

Tente resolver as equações abaixo utilizando a fórmula de Bhaskara:

1. x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0x2−4x+3=0

2. x2+6x+9=0x^2 + 6x + 9 = 0x2+6x+9=0

3. 2x2+5x−3=02x^2 + 5x - 3 = 02x2+5x−3=0

4. 3x2−2x+1=03x^2 - 2x + 1 = 03x2−2x+1=0

Respostas esperadas:

1. $x=1$, $x=3$

2. $x=-3$

3. x=−5+494=1x = \frac{-5 + \sqrt{49}}{4} = 1x=4−5+49​​=1 ou x=−5−494=−3x = \frac{-5 - \sqrt{49}}{4} = -3x=4−5−49​​=−3

4. Não tem raízes reais (discriminante negativo).

💡 Conclusão

A fórmula de Bhaskara é uma ferramenta poderosa para resolver equações do 2º grau. Com a prática, você será capaz de resolver essas equações rapidamente, seja com raízes reais ou complexas. Sempre que encontrar uma equação quadrática, lembre-se de aplicar a fórmula de Bhaskara e seguir os passos de forma cuidadosa. Isso permitirá que você resolva qualquer equação do 2º grau com confiança!