Como Representar Graficamente Funções Quadráticas

As funções quadráticas, ou do 2º grau, são um dos pilares da álgebra e têm grande importância tanto no estudo matemático quanto em diversas aplicações do cotidiano. A representação gráfica de uma função quadrática resulta em uma curva chamada parábola, que possui características únicas e pode ser interpretada de forma clara quando se segue uma sequência lógica. Neste artigo, você aprenderá como representar e interpretar graficamente uma função quadrática, com exemplos resolvidos e dicas práticas.

🔹 O que é uma Função Quadrática?

Uma função quadrática é uma função matemática do tipo:

f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c

Onde:

• $a$, $b$ e $c$ são constantes, sendo que a≠0a \neq 0a=0 (caso contrário, a função deixa de ser quadrática e se torna linear).

• A variável $x$ está elevada à segunda potência, o que caracteriza a equação como uma função do 2º grau.

O objetivo da função quadrática é identificar suas propriedades e interpretar seu gráfico, que é sempre uma parábola.

🔹 Como é a Representação Gráfica de uma Função Quadrática?

A representação gráfica de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. O formato dessa parábola depende dos coeficientes $a$, $b$ e $c$, e ela pode se abrir para cima ou para baixo, dependendo do valor de $a$.

Características Principais da Parábola:

• Vértice: O ponto mais alto ou mais baixo da parábola (depende se a parábola está virada para cima ou para baixo).

• Eixo de Simetria: Uma linha vertical que passa pelo vértice e divide a parábola em duas partes simétricas.

• Raízes ou Zeros: Os pontos onde a parábola cruza o eixo $x$. Esses pontos representam as soluções da equação quadrática.

• Abertura da Parábola: Dependendo do valor de $a$, a parábola pode se abrir para cima ($a>0$) ou para baixo ($a<0$).

🔹 Passo a Passo para Desenhar a Parábola

Passo 1: Identifique o Coeficiente $a$, $b$ e $c$

A equação da função quadrática terá a forma f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c. Antes de começar a desenhar, identifique os coeficientes $a$, $b$ e $c$.

Exemplo:
Se tivermos a função f(x)=2x2−4x+1f(x) = 2x^2 - 4x + 1f(x)=2x2−4x+1, então:

• $a=2$

• $b=-4$

• $c=1$

Passo 2: Encontre o Vértice da Parábola

O vértice da parábola é um ponto crucial. A fórmula para encontrar a coordenada $x$ do vértice é:

x=−b2ax = \frac{-b}{2a}x=2a−b​

Substitua os valores de $a$ e $b$ para encontrar o valor de $x$:

Exemplo:
Para a função f(x)=2x2−4x+1f(x) = 2x^2 - 4x + 1f(x)=2x2−4x+1:

• $a=2$

• $b=-4$

A coordenada $x$ do vértice será:

x=−(−4)2(2)=44=1x = \frac{-(-4)}{2(2)} = \frac{4}{4} = 1x=2(2)−(−4)​=44​=1

Agora, substituímos $x=1$ na equação original para encontrar o valor de $f(x)$ no vértice (ou seja, a coordenada $y$):

f(1)=2(1)2−4(1)+1=2−4+1=−1f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1f(1)=2(1)2−4(1)+1=2−4+1=−1

Portanto, o vértice é o ponto $(1,-1)$.

Passo 3: Determinar o Eixo de Simetria

O eixo de simetria passa pelo $x$-valor do vértice, ou seja, $x=1$ neste caso. O gráfico da parábola será simétrico em relação a essa linha.

Passo 4: Achar as Raízes ou Zeros (se existirem)

As raízes da equação quadrática são os pontos onde a parábola cruza o eixo $x$. Para encontrá-las, resolvemos a equação quadrática ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 utilizando a fórmula de Bhaskara ou verificando se a equação tem raízes reais (se o discriminante for positivo).

Exemplo:
Para f(x)=2x2−4x+1f(x) = 2x^2 - 4x + 1f(x)=2x2−4x+1, use a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes.

O discriminante $\Delta$ é dado por:

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac

Substituindo $a=2$, $b=-4$, e $c=1$:

Δ=(−4)2−4(2)(1)=16−8=8\Delta = (-4)^2 - 4(2)(1) = 16 - 8 = 8Δ=(−4)2−4(2)(1)=16−8=8

Como $\Delta >0$, a equação tem duas raízes reais. Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara:

x=−b±Δ2ax = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}x=2a−b±Δ​​

Substituindo os valores:

x=−(−4)±82(2)=4±84=4±224x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{8}}{2(2)} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4}x=2(2)−(−4)±8​​=44±8​​=44±22​​

Logo, as raízes são:

x1=4+224,x2=4−224x_1 = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{4}, \quad x_2 = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{4}x1​=44+22​​,x2​=44−22​​

Essas são as raízes da função quadrática, que determinam onde a parábola cruza o eixo $x$.

Passo 5: Desenho da Parábola

Agora que você tem as coordenadas do vértice, as raízes (se existirem) e o eixo de simetria, pode desenhar a parábola. Lembre-se que, dependendo do valor de $a$, a parábola se abrirá para cima (se $a>0$) ou para baixo (se $a<0$).

🔹 Dicas para Não Errar

1. Identifique corretamente os coeficientes $a$, $b$ e $c$ para calcular o vértice e as raízes.

2. Verifique o sinal de $a$ para entender se a parábola vai para cima ou para baixo.

3. Não se esqueça da simetria: a parábola é simétrica em relação ao eixo de simetria.

4. Revise o cálculo das raízes: se o discriminante for negativo, a parábola não terá raízes reais (ela não cruza o eixo $x$).

🔹 Exercícios para Praticar

1. Função: f(x)=x2−6x+9f(x) = x^2 - 6x + 9f(x)=x2−6x+9

   • Determine o vértice, o eixo de simetria e as raízes.

2. Função: f(x)=−2x2+4x+1f(x) = -2x^2 + 4x + 1f(x)=−2x2+4x+1

   • Determine o vértice, o eixo de simetria e o número de raízes reais.

3. Função: f(x)=3x2−12x+7f(x) = 3x^2 - 12x + 7f(x)=3x2−12x+7

   • Encontre o vértice e as raízes da equação.

🔹 Conclusão

A representação gráfica das funções quadráticas nos ensina como interpretar as parábolas de maneira precisa. Com o cálculo do vértice, eixo de simetria e raízes, você terá uma compreensão completa do comportamento da função. Praticando e aplicando esses conceitos, você será capaz de resolver problemas de funções quadráticas com facilidade.

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