Como Resolver Equações do 2º Grau com Bhaskara

Aprenda a usar a Fórmula de Bhaskara e entenda como o discriminante define o número de raízes de uma equação quadrática.

Resolver equações do 2º grau pode parecer desafiador à primeira vista, mas, ao entender a Fórmula de Bhaskara e o conceito de discriminante, esse processo se torna bem mais simples. O segredo está em compreender como o discriminante influencia o número de raízes da equação. Neste artigo, você aprenderá passo a passo como usar a Fórmula de Bhaskara, entender o discriminante e descobrir o número de raízes de uma equação quadrática.

🔹 O que é uma Equação do 2º Grau?

Uma equação do 2º grau é uma igualdade matemática em que a incógnita (geralmente $x$ ) aparece elevada ao quadrado. A forma geral é:

$ax^2 + bx + c = 0$

Onde:

$a$ , $b$ , e $c$ são coeficientes e $\neq 0$ ,
$x$ é a variável que queremos resolver.

O objetivo é descobrir o valor ou os valores de $x$ que tornam a equação verdadeira.

🔹 A Fórmula de Bhaskara:

A Fórmula de Bhaskara é a ferramenta mais utilizada para resolver equações do 2º grau. Ela nos dá as soluções (raízes) de uma equação quadrática, que podem ser reais ou complexas.

A fórmula é dada por:

$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Aqui, o discriminante, representado por $Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac$ , é crucial para determinar o número de raízes que a equação possui. Vamos analisar isso com mais detalhes.

🔹 O Discriminante ( $Δ\Delta$ ):

O discriminante é a parte da fórmula de Bhaskara que aparece dentro da raiz quadrada, ou seja, $Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac$ . Ele é muito importante porque indica o número e o tipo de raízes da equação quadrática. O valor de $Δ\Delta$ pode ser:

Positivo ( $Δ>0\Delta > 0$ ): A equação tem duas raízes reais e distintas.
Zero ( $Δ=0\Delta = 0$ ): A equação tem uma raiz real, mas com multiplicidade 2 (ou seja, a raiz é única).
Negativo ( $Δ<0\Delta < 0$ ): A equação tem duas raízes complexas (não reais).

🔹 Passo a Passo para Resolver Usando Bhaskara:

Passo 1: Identifique os coeficientes $a$ , $b$ , e $c$
Primeiro, escreva a equação na forma padrão $ax^2 + bx + c = 0$ . Em seguida, identifique os valores de $a$ , $b$ , e $c$ .

Exemplo:
Considere a equação $2x^2 - 4x - 6 = 0$ .

Aqui, temos:

$a = 2$ ,
$b = - 4$ ,
$c = - 6$ .

Passo 2: Calcule o discriminante ( $Δ\Delta$ )
Agora, calcule o discriminante $Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac$ .

No exemplo, temos:

$Δ=(−4)2−4(2)(−6)=16+48=64\Delta = (-4)^2 - 4(2)(-6) = 16 + 48 = 64$

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Passo 3: Aplique a fórmula de Bhaskara
Agora, calcule as raízes utilizando a fórmula de Bhaskara:

$\frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2(2)} = \frac{4 \pm 8}{4}$

Passo 4: Resolva para as raízes
Agora, calcule as duas soluções:

$x1=4+84=124=3x_1 = \frac{4 + 8}{4} = \frac{12}{4} = 3$ $x2=4−84=−44=−1x_2 = \frac{4 - 8}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Resposta:
As raízes da equação $2x^2 - 4x - 6 = 0$ são $x_1 = 3$ e $x_2 = -1$ .

🔹 Exemplo 2: Equação com $Δ=0\Delta = 0$

Considere a equação $x^2 - 6x + 9 = 0$ .

Passo 1: Identifique os coeficientes:

$a = 1$ ,
$b = - 6$ ,
$c = 9$ .

Passo 2: Calcule o discriminante:

$Δ=(−6)2−4(1)(9)=36−36=0\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$

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Passo 3: Aplique a fórmula de Bhaskara:

$\frac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2(1)} = \frac{6 \pm 0}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Resposta:
A equação $x^2 - 6x + 9 = 0$ tem uma única raiz real, que é $x = 3$ .

🔹 Dicas para Não Errar:

Verifique o valor de $Δ\Delta$ : Sempre calcule o discriminante para entender o tipo de raízes que você encontrará.
Considere as raízes complexas: Se $Δ\Delta$ for negativo, as soluções serão números complexos (não reais).
Não se esqueça dos sinais: Ao substituir os valores de $a$ , $b$ e $c$ na fórmula, preste atenção nos sinais de cada termo.

🔹 Exercício para Praticar:

Tente resolver a equação $x^2 + 4x - 5 = 0$ usando a Fórmula de Bhaskara.

Respostas:
As raízes dessa equação são $x_1 = 1$ e $x_2 = -5$ .

💡 Conclusão

A Fórmula de Bhaskara é uma ferramenta essencial para resolver equações do 2º grau e entender o número de raízes da equação. O discriminante ( $Δ\Delta$ ) desempenha um papel fundamental, pois nos ajuda a saber se a equação terá raízes reais ou complexas. Com a prática, o processo de resolução se torna cada vez mais fácil e intuitivo.