Funções do 2º Grau: Conceitos e Características

As funções do 2º grau são fundamentais em diversas áreas da matemática, e entender seus conceitos e características é o primeiro passo para dominar esse tipo de função. Elas podem parecer desafiadoras inicialmente, mas com uma abordagem lógica, você verá que o processo de compreensão e resolução é mais simples do que parece. Neste artigo, vamos explicar o que são as funções do 2º grau e suas características, usando exemplos resolvidos e dicas práticas.

🔹 O que é uma Função do 2º Grau?

Uma função do 2º grau é uma função polinomial que pode ser expressa na forma:

f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c

Onde:

• $a$, $b$ e $c$ são constantes,

• $x$ é a variável,

• A função é chamada de quadrática porque a variável $x$ está elevada ao quadrado.

O objetivo de uma função do 2º grau é modelar relações que envolvem quadrados, como as trajetórias de objetos lançados, o crescimento de populações ou até mesmo o cálculo de lucros e perdas em contextos financeiros.

🔹 Características Principais das Funções do 2º Grau

As funções quadráticas têm algumas características essenciais, que são visíveis principalmente em seu gráfico, a parábola. Vamos analisar os principais aspectos:

1. Abertura da Parábola:
   A direção em que a parábola se abre depende do coeficiente $a$ da equação:

   • Se $a>0$, a parábola abre para cima.

   • Se $a<0$, a parábola abre para baixo.

2. Vértice:
   O vértice da parábola é o ponto mais alto (se a parábola abrir para baixo) ou o ponto mais baixo (se a parábola abrir para cima). Ele pode ser calculado usando a fórmula:

   xveˊrtice=−b2ax_{\text{vértice}} = \frac{-b}{2a}xveˊrtice​=2a−b​

   Substituindo esse valor de $x$ na equação da função, podemos encontrar o valor de $y$, que é o valor da função no vértice.

3. Raízes (ou Zeros):
   As raízes ou zeros da função quadrática são os pontos onde a parábola corta o eixo $x$. Eles podem ser encontrados utilizando a fórmula de Bhaskara:

   x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac​​

   O discriminante b2−4acb^2 - 4acb2−4ac determina o número de raízes:

   • Se b2−4ac>0b^2 - 4ac > 0b2−4ac>0, existem duas raízes reais e distintas.

   • Se b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0b2−4ac=0, existe uma raiz real (a parábola toca o eixo $x$ em um único ponto).

   • Se b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0b2−4ac<0, não existem raízes reais (a parábola não toca o eixo $x$).

🔹 Passo a Passo para Compreender Funções do 2º Grau

Passo 1: Identifique os coeficientes da equação
Exemplo: Se tivermos a equação f(x)=2x2−4x+1f(x) = 2x^2 - 4x + 1f(x)=2x2−4x+1, identificamos os coeficientes:

• $a=2$,

• $b=-4$,

• $c=1$.

Passo 2: Encontre o vértice da parábola
A fórmula do vértice é:

xveˊrtice=−b2ax_{\text{vértice}} = \frac{-b}{2a}xveˊrtice​=2a−b​

Substituindo os valores:

xveˊrtice=−(−4)2(2)=44=1x_{\text{vértice}} = \frac{-(-4)}{2(2)} = \frac{4}{4} = 1xveˊrtice​=2(2)−(−4)​=44​=1

Agora, substituímos $x=1$ na função para encontrar $y$:

f(1)=2(1)2−4(1)+1=2−4+1=−1f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1f(1)=2(1)2−4(1)+1=2−4+1=−1

Então, o vértice é o ponto $(1,-1)$.

Passo 3: Encontre as raízes
Usamos a fórmula de Bhaskara:

x=−(−4)±(−4)2−4(2)(1)2(2)x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)}x=2(2)−(−4)±(−4)2−4(2)(1)​​

Calculando o discriminante:

Δ=(−4)2−4(2)(1)=16−8=8\Delta = (-4)^2 - 4(2)(1) = 16 - 8 = 8Δ=(−4)2−4(2)(1)=16−8=8

Como $\Delta >0$, a equação tem duas raízes reais:

x=4±84=4±224x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4}x=44±8​​=44±22​​

Portanto, as raízes são:

x1=4+224ex2=4−224x_1 = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{4} \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{4}x1​=44+22​​ex2​=44−22​​

Passo 4: Desenhe o gráfico
Com o vértice e as raízes em mãos, podemos desenhar a parábola, sabendo que:

• O vértice indica o ponto de mínimo (ou máximo) da parábola,

• As raízes indicam onde a parábola intercepta o eixo $x$.

🔹 Exemplo Resolvido

Vamos considerar a função f(x)=x2−6x+8f(x) = x^2 - 6x + 8f(x)=x2−6x+8.

Passo 1: Identificando os coeficientes:

• $a=1$,

• $b=-6$,

• $c=8$.

Passo 2: Calculando o vértice:

xveˊrtice=−(−6)2(1)=62=3x_{\text{vértice}} = \frac{-(-6)}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3xveˊrtice​=2(1)−(−6)​=26​=3

Substituindo na função:

f(3)=(3)2−6(3)+8=9−18+8=−1f(3) = (3)^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1f(3)=(3)2−6(3)+8=9−18+8=−1

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O vértice é $(3,-1)$.

Passo 3: Calculando as raízes:

Δ=(−6)2−4(1)(8)=36−32=4\Delta = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4Δ=(−6)2−4(1)(8)=36−32=4

Como $\Delta >0$, temos duas raízes reais:

x=6±42=6±22x = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}x=26±4​​=26±2​

Logo, as raízes são:

x1=6+22=4ex2=6−22=2x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2x1​=26+2​=4ex2​=26−2​=2

Passo 4: O gráfico da parábola terá vértice em $(3,-1)$ e raízes em $x=4$ e $x=2$.

✅ Solução: A função f(x)=x2−6x+8f(x) = x^2 - 6x + 8f(x)=x2−6x+8 tem vértice em $(3,-1)$ e raízes em $x=4$ e $x=2$.

🔹 Dicas para Não Errar

1. Sempre calcule o discriminante corretamente para identificar o número de raízes da equação.

2. Preste atenção aos sinais ao resolver funções quadráticas, especialmente ao aplicar a fórmula de Bhaskara.

3. Verifique o gráfico: a simetria das parábolas é fundamental para identificar pontos de interesse, como o vértice e as raízes.

4. Pratique com diferentes tipos de funções quadráticas: incluindo aquelas com coeficientes negativos e frações.

🔹 Conclusão

Compreender as funções do 2º grau é essencial para avançar na matemática. Ao dominar o conceito de parábolas, o cálculo de raízes e o entendimento do vértice, você estará pronto para resolver problemas mais complexos e aplicar essas funções em diversas áreas, como física, economia e estatísticas.

Pratique com exemplos, calcule os vértices e raízes, e logo você se sentirá confortável para lidar com qualquer equação quadrática!