Desafios & Mistérios da Matemática (Conjuntos Numéricos)
Carlos Roa
em 05 de Março de 2015

Bom Dia, Turma!

Conjuntos Numéricos é um tópico da matemática que eu classifico como fundamental, pois ele se estende para todos os campos da Exatas (Física, Química, Computação e etc.) e ao nosso Cotidiano (Por Exemplo, quando pedidos uma duzia de ovos; meio quilo de carne ou até mesmo quando medimos a circunferência da cintura), sendo assim, é de suma importância entendermos os conceitos e as notações utilizadas para classificar tais conjuntos.

 

Simbologia

* (asterisco) sobrescrito ao simbolo do conjunto numérico significa que excluimos o zero do conjunto.

+ (positivo) subescrito ao simbolo do conjunto numérico significa que excluimos os números negativos do conjunto.

- (negativo) subescrito ao simbolo do conjunto numérico significa que excluimos os números positivos do conjunto.

http://4.bp.blogspot.com/-cuEB3f4CvJc/TWRGZpfbmpI/AAAAAAAAALE/d75wknkulVc/s1600/simbolos%2Bmatematicos.bmp

 

Conjunto dos Números Naturais (\mathbb{N})

O conjunto dos números Naturais é forma pelos números inteiros não-negativos.

Na Integra:

\mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, ...}

Não incluindo o zero:

\mathbb{N}^*= {1, 2, 3, ...}  ou  \mathbb{N} - {0} ou { X ∈ \mathbb{N} / X > 0 }

 

Conjunto dos Números Inteiros (\mathbb{Z})

Os números inteiros são constituídos pelo conjunto dos números naturais (incluindo o zero) e os números negativos simétricos deste conjunto, isto é, opostos (não-positivos).

Na Integra:

\mathbb{Z} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Não inclui o zero:

\mathbb{Z}* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3 ...} ou \mathbb{Z} - {0} ou { X ∈ \mathbb{Z} / X < 0 ou  X > 0 }

Não inclui os números negativos simétricos (inteiros não-positivos):

\mathbb{Z}+ = {0, 1, 2, 3 ...} ou \mathbb{Z} -\mathbb{Z}- ou { X ∈ \mathbb{Z} / X ≥ 0 }

\mathbb{Z}+ = \mathbb{N}

Não inclui os números naturais (inteiros não-negativos):

\mathbb{Z}- = {..., -1, -2, -3, 0} ou \mathbb{Z} -\mathbb{Z}+ ou { X ∈ \mathbb{Z} / X ≤ 0 }

Não inclui os números negativos simétricos e o zero (inteiros positivos):

\mathbb{Z}*+ = {1, 2, 3 ...} ou \mathbb{Z}*- \mathbb{Z}*- ou { X ∈ \mathbb{Z} / X > 0 }

\mathbb{Z}*+ = \mathbb{N}^*

Não inclui os números naturais e o zero (inteiros negativos):

\mathbb{Z}*- = {..., -1, -2, -3} ou \mathbb{Z}* -\mathbb{Z}*+ ou { X ∈ \mathbb{Z} / X < 0 }

Obs.: Dizemos números não-negativos ou não-positivos ao invés de negativos ou positivos pelo fato de o zero ser um elemento neutro.

 

Conjunto dos Números Racionais (\mathbb{Q})

O conjunto dos Números Racionais é aquele, no qual, conseguimos expor um número em uma forma fracionária, isto é, na forma a/b. Para existir esta ocorrência é necessário que a \mathbb{Z} e b ∈ \mathbb{Z}*, ou seja, "a" poderá ser qualquer número inteiro e "b" qualquer número inteiro diferente de zero.

\mathbb{Q}=\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}\end{matrix}\,|\,a\in\mathbb{Z}\,;\,b\in\mathbb{Z^{*}}\right\}.

Na Integra:

\mathbb{Q} = {..., -3/2, -2/3, -1, 0, 1/2, 7/9, √4, ...}

Não inclui o zero:

\mathbb{Q}* = {...,3/2, -2/3, -1, 1/2, 7/9, √4...} ou \mathbb{Q} - {0} ou { X ∈ \mathbb{Q} / X < 0 ou  X > 0 }

Não inclui os números inteiros não-positivos com pares ordenados (fração):

\mathbb{Q}+ = {0, 1/2, 7/9, √4, ...} ou \mathbb{Q} - \mathbb{Q}ou { X ∈ \mathbb{Q} / X ≥ 0 }

Não inclui os números inteiros não-negativos com pares ordenados (fracão):

\mathbb{Q}- = {..., -3/2, -2/3, -1, 0} ou \mathbb{Q} - \mathbb{Q}+ ou { X ∈ \mathbb{Q} / X ≤ 0 }

Não inclui os números negativos negativos com pares ordenados (fração)

\mathbb{Q}*+= {1/2, 7/9, √4, ...} ou \mathbb{Q}*- \mathbb{Q}*- ou { X ∈ \mathbb{Q} / X > 0 }

Não inclui os números negativos positivos com pares ordenados (fração)

\mathbb{Q}*- = {..., -3/2, -2/3, -1} ou \mathbb{Q}* -\mathbb{Q}*+ ou { X ∈ \mathbb{Q} / X < 0 }

Obs.: É importante ressaltar que um numero inteiro {-2,-1,3,6} podem ser colocadas no formato de fração a/b, com b igual a 1.

 

Conjunto dos Números Irracionais ( \mathbb{I}.)

Os números irracionais são aqueles números em que não conseguimos expor em forma fracionária, ou seja, dízima periódica simples ou composta. Exemplos de números que compõe esse conjunto são:

 

2 = 1.4142135...

 \pi \cong 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058...

 e=2{,}718\;281\;828\;459\;045\;235\;360\;287\;471\;352\;662\;497\;757\;247...

Obs.: Os números irracionais não contemplam os conjuntos N, Z e Q; ele é um conjunto isolado que esta contido no conjunto dos Reais (R) que por sua vez esta contido no conjunto dos números complexos.

 

Conjunto dos Números Reais (\mathbb{R}\,)

Os números Reais são aqueles que engloba todos os conjuntos acima, como definição podemos dizer que é o conjunto de todos os números que possui representação decimal exata, dízima periódica (números racionais) e representação decimal não exata, dízima não periódica (números irracionais).

Fonte: Estrutura esquematica extraida do site Objetivo (Conteúdo Online)

Obs.: É o conjunto que abrange todos os já mencionados, quando resolvemos uma equação ou sistema provavelmente a resposta esta neste conjunto.

 

Conjunto dos Números Complexos (\mathbb{C})

O Conjunto dos números complexos veio para suprir uma necessidade matemática para raízes negativas, no qual matematicos se deparavam. Sendo assim um numero complexo (z) é composto de uma parte Real (x) e Imaginária (y).

z = x + yi

Unidade imaginária é reapresentada por i, sendo i = √-1.

Obs.: Diferente do que muitos pensam os números imaginários (i) existem, digamos que a escolha do nome não foi a melhor, pois induz a uma interpretação equivocada.

 

Representação Resumida e Esquematica dos Conjuntos Numéricos

 

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\cdots

Leitura: Naturais esta contido em Inteiros, que por sua vez esta contido em Racionais, que por sua vez esta contido em Reais e que por sua vez esta contido em Complexos.

 Fonte: Imagem extraida do site Matematiquês

Fonte: Esquema extraido do site Virtual Escola

 

Desafio

Sabendo-se que √-2 é um número Complexo (C).

a) Converta o número acima em um númerio Inteiro (Z), Racional (Q) e Irracional (I) utilizando operações matemáticas com os números √-2 e √2.

b) Utilizando-se as operações matemáticas com o número acima e os números √-2 e √2, formou-se o seguinte conjunto, A = {0, 1/2, 2/3, √(1/2), 1, 2, 2√2, 3, √-1}, classifique na tabela abaixo os sub-conjuntos numérico com pertence (∈) e não pertence (∉).

Sub-Conjunto N Z Q I R C
{0,1}            
{0,2/3,1/2}            
{0,2/3}            
{√(1/2), √-1}            
{1,2,3}            
{√(1/2),2√2}            
{0,2√2}            
{0}            
{√-1}            

c) Por qual número devemos multiplicar o número acima para se obter o número \pi com uma casa decimal de precisão. Qual conjunto o número pertencia antes da mutiplicação e após?

Operações Matemáticas: Adição, Divisão, Multiplicação e Subtração.

 

Um grande abraço a todos,

Carlos Roberto Roa

São Paulo / SP
Curso Livre: Microsoft Excel Avançado (Acadêmicos do Excel)
Graduado em Engenharia de Produção Mecânica pelo Instituto Mauá de Tecnologia (IMT) atuo com Inteligência de Mercado e administro o site Acadêmicos do Excel, ambiente com um vasto conteúdo de ensino sobre Excel. Já ministrei aulas particulares e suporte em cursinho pré vestibular em Matemática e Física. Sou uma pessoa comunicativa, paciente e apaixonada por exatas e tecnologia. No momento estou me especializando em tecnologias de Big Data. Estou a disposição para maiores informações!
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