Desafios & Mistérios da Matemática (Conjuntos Numéricos)

Bom Dia, Turma!

Conjuntos Numéricos é um tópico da matemática que eu classifico como fundamental, pois ele se estende para todos os campos da Exatas (Física, Química, Computação e etc.) e ao nosso Cotidiano (Por Exemplo, quando pedidos uma duzia de ovos; meio quilo de carne ou até mesmo quando medimos a circunferência da cintura), sendo assim, é de suma importância entendermos os conceitos e as notações utilizadas para classificar tais conjuntos.

Simbologia

* (asterisco) sobrescrito ao simbolo do conjunto numérico significa que excluimos o zero do conjunto.

+ (positivo) subescrito ao simbolo do conjunto numérico significa que excluimos os números negativos do conjunto.

- (negativo) subescrito ao simbolo do conjunto numérico significa que excluimos os números positivos do conjunto.

Conjunto dos Números Naturais ()

O conjunto dos números Naturais é forma pelos números inteiros não-negativos.

Na Integra:

= {0, 1, 2, 3, ...}

Não incluindo o zero:

= {1, 2, 3, ...}  ou  - {0} ou { X ∈ / X > 0 }

Conjunto dos Números Inteiros ()

Os números inteiros são constituídos pelo conjunto dos números naturais (incluindo o zero) e os números negativos simétricos deste conjunto, isto é, opostos (não-positivos).

Na Integra:

= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Não inclui o zero:

^* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3 ...} ou - {0} ou { X ∈ / X < 0 ou  X > 0 }

Não inclui os números negativos simétricos (inteiros não-positivos):

₊ = {0, 1, 2, 3 ...} ou -_- ou { X ∈ / X ≥ 0 }

₊ =

Não inclui os números naturais (inteiros não-negativos):

_- = {..., -1, -2, -3, 0} ou -+ ou { X ∈ / X ≤ 0 }

Não inclui os números negativos simétricos e o zero (inteiros positivos):

^*₊ = {1, 2, 3 ...} ou ^*- ^*_- ou { X ∈ / X > 0 }

^*₊ =

Não inclui os números naturais e o zero (inteiros negativos):

^*_- = {..., -1, -2, -3} ou ^* -^*+ ou { X ∈ / X < 0 }

Obs.: Dizemos números não-negativos ou não-positivos ao invés de negativos ou positivos pelo fato de o zero ser um elemento neutro.

Conjunto dos Números Racionais ()

O conjunto dos Números Racionais é aquele, no qual, conseguimos expor um número em uma forma fracionária, isto é, na forma a/b. Para existir esta ocorrência é necessário que a ∈ e b ∈ ^*, ou seja, "a" poderá ser qualquer número inteiro e "b" qualquer número inteiro diferente de zero.

Na Integra:

 = {..., -3/2, -2/3, -1, 0, 1/2, 7/9, √4, ...}

Não inclui o zero:

^* = {...,3/2, -2/3, -1, 1/2, 7/9, √4...} ou  - {0} ou { X ∈ / X < 0 ou  X > 0 }

Não inclui os números inteiros não-positivos com pares ordenados (fração):

₊ = {0, 1/2, 7/9, √4, ...} ou - _-  ou { X ∈ / X ≥ 0 }

Não inclui os números inteiros não-negativos com pares ordenados (fracão):

_- = {..., -3/2, -2/3, -1, 0} ou - + ou { X ∈ / X ≤ 0 }

Não inclui os números negativos negativos com pares ordenados (fração)

^*₊= {1/2, 7/9, √4, ...} ou ^*- ^*_- ou { X ∈ / X > 0 }

Não inclui os números negativos positivos com pares ordenados (fração)

^*_- = {..., -3/2, -2/3, -1} ou ^* -^*+ ou { X ∈ / X < 0 }

Obs.: É importante ressaltar que um numero inteiro {-2,-1,3,6} podem ser colocadas no formato de fração a/b, com b igual a 1.

Conjunto dos Números Irracionais ( )

Os números irracionais são aqueles números em que não conseguimos expor em forma fracionária, ou seja, dízima periódica simples ou composta. Exemplos de números que compõe esse conjunto são:

√2 = 1.4142135...

 ...

 ...

Obs.: Os números irracionais não contemplam os conjuntos N, Z e Q; ele é um conjunto isolado que esta contido no conjunto dos Reais (R) que por sua vez esta contido no conjunto dos números complexos.

Conjunto dos Números Reais ()

Os números Reais são aqueles que engloba todos os conjuntos acima, como definição podemos dizer que é o conjunto de todos os números que possui representação decimal exata, dízima periódica (números racionais) e representação decimal não exata, dízima não periódica (números irracionais).

Fonte: Estrutura esquematica extraida do site Objetivo (Conteúdo Online)

Obs.: É o conjunto que abrange todos os já mencionados, quando resolvemos uma equação ou sistema provavelmente a resposta esta neste conjunto.

Conjunto dos Números Complexos ()

O Conjunto dos números complexos veio para suprir uma necessidade matemática para raízes negativas, no qual matematicos se deparavam. Sendo assim um numero complexo (z) é composto de uma parte Real (x) e Imaginária (y).

Unidade imaginária é reapresentada por i, sendo i = √-1.

Obs.: Diferente do que muitos pensam os números imaginários (i) existem, digamos que a escolha do nome não foi a melhor, pois induz a uma interpretação equivocada.

Representação Resumida e Esquematica dos Conjuntos Numéricos

Leitura: Naturais esta contido em Inteiros, que por sua vez esta contido em Racionais, que por sua vez esta contido em Reais e que por sua vez esta contido em Complexos.

 Fonte: Imagem extraida do site Matematiquês

Fonte: Esquema extraido do site Virtual Escola

Desafio

Sabendo-se que √-2 é um número Complexo (C).

a) Converta o número acima em um númerio Inteiro (Z), Racional (Q) e Irracional (I) utilizando operações matemáticas com os números √-2 e √2.

b) Utilizando-se as operações matemáticas com o número acima e os números √-2 e √2, formou-se o seguinte conjunto, A = {0, 1/2, 2/3, √(1/2), 1, 2, 2√2, 3, √-1}, classifique na tabela abaixo os sub-conjuntos numérico com pertence (∈) e não pertence (∉).

c) Por qual número devemos multiplicar o número acima para se obter o número com uma casa decimal de precisão. Qual conjunto o número pertencia antes da mutiplicação e após?

Operações Matemáticas: Adição, Divisão, Multiplicação e Subtração.

Um grande abraço a todos,

Carlos Roberto Roa