Desafios & Mistérios da Matemática (Fatoração)
Carlos Roa
em 22 de Abril de 2014

Bom Dia, Turma!

A fatoração nada mais é do que transformar uma equação matemática em uma multiplicação (produto) de fatores. Muitos autores dizem que a fatoração é a simplificação de equações - cuidado!! Isto não é verdade, pois nem sempre uma equação fatorada se torna simplificada!

A fatoração tem como intenção tornar uma equação mais simplificada. Um bom exemplo para nos certificarmos disso é a fatoração da seguinte equação:

256y^8 - z^8

Forma fatorada:

(2y - z)(2y + z)(4y^2 + z^2)(16y^4 + z^4)

Como podemos perceber, a forma fatorada é bem mais complexa. Veja que existe um conceito bem interessante neste exemplo, está bem evidente que a fatoração busca diminuir o grau do polinômio em seus fatores.

A fatoração, na prática, é utilizada para tornar modelos matemáticos mais complexos em fatores mais simples, por exemplo, a famosa fórmula dos Gases Ideais é (PV = nRT), já a dos Gases Reais é mais refinada e com coeficientes de ajustes referentes ao tipo de gás (a e b).

 

Fórmula de um Gás Ideal:

P \cdot V = n \cdot R \cdot T \,\!

 

Fórmula de um Gás Real:

(P+\frac{a\cdot n^2} { V^2}) \cdot (V-nb) = n \cdot R \cdot T \,\!

 

Como podemos perceber, o modelo de um Gás Real é um produto de fatores, com a intenção de simplicar o modelo.

A fatoração, para os mais experientes, é um universo cheio de truques e macetes, é como uma batalha, quanto maior a experiência e o conhecimento das táticas de guerra, mais fácil e rápido será para se atingir o objetivo.

 

Dica 1 (Utilizando o Triângulo de Pascal)

Uma dica bem interessante é o triângulo de Pascal, na verdade esse triângulo carrega uma série de mistérios bem interessantes, mas vamos, neste artigo, manter o foco na fatoração.

Propriedades do Triângulo de Pascal:

1ª - Um cateto e a hipotenusa do triângulo são formados  por 1;
2ª - Em cada linha, os termos equidistantes (mesma distância) dos extremos são iguais;
3ª - O resultado da soma de dois elementos consecutivos de uma linha é imediatamente igual ao elemento da linha abaixo.

  


\begin{matrix}
&\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}&\mathbf{6}&\mathbf{2^{n}}\\
\mathbf{0}&1&&&&&&&{2^{0}=1}\\\mathbf{1}&1&1&&&&&&{2^{1}=2}\\
\mathbf{2}&1&2&1&&&&&{2^{2}=4}\\\mathbf{3}&1&3&3&1&&&&{2^{3}=8}\\
\mathbf{4}&1&4&6&4&1&&&{2^{4}=16}\\
\mathbf{5}&1&5&10&10&5&1&&{2^{5}=32}\\
\mathbf{6}&1&6&15&20&15&6&1&{2^{6}=64}
\end{matrix}

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b^2 + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4

No triângulo de Pascal, são evidenciados os coeficientes das expressões acima quando aplicados os produtos notáveis.

 

Dica 2 (Tirando as Cartas das Mangas)

Manter nas mangas as expressões mais clássicas e que são campeãs em provas.

 

( a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc (Uma das fatorações mais exploradas em vestibulares militares)

Obs.: As 3 primeiras são primordiais para qualquer prova, a 4ª e a 5ª são desejáveis, já a última é bem específica.

 

Dica 3 (Aplicando a regra do "Põe e Tira")

Existem questões de fatoração bem inteligentes e que exploram o melhor de nosso raciocínio, são as famosas questões que exigem o "põe e tira", geralmente elas surgem devido a necessidade de formar uma "expressão clássica", supracitada na Dica 2 .

Por exemplo:

1 + 1 = 2, podemos expressar esta sentença da seguinte forma também: 1 + 1 + 7 - 7 = 2, ou seja, o fato de inserirmos o 7 e tirá-lo não afetará o resultado da expressão.

Com esse artifício poderemos resolver o seguinte exercício:

a^4 + a^2b^2 + b^4

 

Resolução:

a^4 + a^2b^2 + a^2b^2 - a^2b^2 + b^4

a^2 + 2a^2b^2 + b^4 - a^2b^2

(a^2 + b^2)^2 - a^2b^2

(a^2 + b^2) - (ab)^2

(a^2 + b^2 - ab)(a^2 + b^2 + ab)

 

Dica 4 (Resolvendo como uma Equação Polinomial)

Em uma grande parte dos problemas de fatoração, basta resolvermos a equação igualando-a a zero e encontrando as raízes, pois estas comporão os fatores.

Com essa ideia, poderemos resolver o seguinte exercício:

a^2 + 6a - 7

 

Resolução:

a^2 + 6a - 7 = 0 (*) 

Igualando a equação do segundo grau a zero temos como raízes, a1 = -7 e a2 = 1.

Sendo assim, a forma fatorada será:

(a + 7)(a - 1)

(*)Obs.: Lembre-se que não é correto expor ao examinador a equação sendo igualada a zero, pois é um exercício de fatoração e não de equação do 1º ou do 2º grau.

 

Dica 5 (Entendendo as Necessidades do Problema)

A dica 5 é somente para os campeões que enxergam a Matrix!!!!!!(hahha...).

Existem questões de Olimpíadas e Vestibulares com um alto grau de dificuldade, em que não basta você conhecer as 4 dicas acima, você terá que extrapolar os limites e "sacar" as necessidades do exercício no decorrer do desenvolvimento. Lembra quando falei da experiência em batalha? Agora você terá que usa-lá! Irei ilustrar este último tópico com um exercício desafiador.

Se (a + b + c) = 1 e (a^2 + b^2 + c^2) = 0, calcule A = a^4 + b^4 + c^4

 

Resolução:

(a + b + c)^2

Considerando (b + c) = x, para efeito de cálculo teremos:

(a + x)^2 = (a^2 + 2ax + x^2)

(a + b + c)^2 = a^2 + 2a(b + c) + (b + c)^2

(a + b + c)^2 = a^2 + 2ab + 2ac + b^2 + 2bc + c^2

2ab + 2ab + 2bc = (a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)

2(ab + ac + bc) = (a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)

(ab + ac + bc) = ((a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2))/2

(ab + ac + bc) = ((1)^2 - (0))/2

(ab + ac + bc) = 1/2  (Equação I)

 

(a^2 + b^2 + c^2)^2

Considerando (b^2 + c^2) = y, para efeito de cálculo teremos:

(a^2 + y)^2 = (a^4 + 2a^2y + y^2)

(a^2 + b^2 + c^2)^2 = a^4 + 2a^2(b^2 + c^2) + (b^2 + c^2)^2

(a^2 + b^2 + c^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + b^4 + 2b^2c^2 + c^4

(a^4 + b^4 + c^4) = (a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)  (Equação II)

 

(ab + ac + bc)^2

Considerando (ac + bc) = w, para efeito de cálculo temos:

(ab + w)^2 = (a^2 + 2abw + w^2)

(ab + ac + bc)^2 = a^2b^2 + 2ab(ac + bc) + (ac + bc)^2

(ab + ac + bc)^2 = a^2b^2 + 2a^2bc + 2ab^2c + a^2c^2 + 2abc^2 + b^2c^2

a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 = 2a^2bc + 2ab^2c + 2abc^2 - (ab + ac + bc)^2 

 a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 = 2abc(a + b + c) - (ab + ac + bc)^2 (Equação III)

 

Substituindo a (Equação I em III) e levando-se em consideração que para abc, obrigatoriamente, uma das incógnitas deve ser zero para atender a seguinte equação: a^2 + b^2 + c^2 = 0. A seguir temos:

 a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 = 2(0)(1) - (1/2)^2   

 a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 = -1/4 (Equação IV)

 

Substituindo a (Equação IV em II), temos:

 a^4 + b^4 + c^4 = (0)^2 - 2(-1/4)

a^4 + b^4 + c^4 = 1/2A =  1/2

 

Dica Extra (Chamando duas "letras" de uma)

Na resolução do problema acima, existe uma técnica muito utilizada pelos matemáticos para evitar erros e, ao mesmo tempo, organizar o raciocínio, é chamar duas incógnitas de uma "letra", por exemplo, (a + b) = x. Você percebeu que o último item da Dica 2 não precisa necessariamente ser memorizado?

 

Um grande abraço a todos,

Carlos Roberto Roa

 

 

São Paulo / SP
Curso Livre: Microsoft Excel Avançado (Acadêmicos do Excel)
Graduado em Engenharia de Produção Mecânica pelo Instituto Mauá de Tecnologia (IMT) atuo com Inteligência de Mercado e administro o site Acadêmicos do Excel, ambiente com um vasto conteúdo de ensino sobre Excel. Já ministrei aulas particulares e suporte em cursinho pré vestibular em Matemática e Física. Sou uma pessoa comunicativa, paciente e apaixonada por exatas e tecnologia. No momento estou me especializando em tecnologias de Big Data. Estou a disposição para maiores informações!
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