Desafios & Mistérios da Matemática (Fração Geratriz)

Bom dia, Turma!

Entendo que, muitas vezes, em alguns cálculos e até mesmo em algumas simplificações de equações, o formato de dízima periódica "atrapalha" e chega até ser assustador para alguns alunos.

Este artigo tem como finalidade desmistificar a dificuldade em transformar dízimas períodicas em frações e tornar o conceito interessante, prático e intuitivo.

Quando estamos efetuando uma divisão, muitos não possuem tanta dificuldade em transformar esses números em fração:

0,5 = 5/10 (1/2)

0,12 =  12/100 (3/25)

0,7 = 7/10

Obs.: Os números entre parênteses são as simplificações.

Podemos reparar que a cada número após a virgula, multiplicamos por 10 o denominar, e caso o numerador e o denominar tiverem um divisor em comum simplificamos ao máximo.

0,722 = 722/(10*10*10) = 722/1000 (361/500)

Como podemos perceber, mesmo os números que não são dízimas periódicas possuem regras e conceitos atrelado.

1º Dízima Periódica Simples

Como o próprio nome já diz, dízima é algo atrelado ao sistema decimal (base dez); periódica, segue uma repetição bem definida, e simples, possui um comportamento único e padrão.

Com essa ideia, vamos resolver alguns casos práticos:

0,222222222... = 2/9

0,373737373... = 37/99

0,375375375... = 375/999

Muitas vezes, na escola, aprendemos que uma dízima periódica simples segue um padrão bem definido inserindo um 9 de acordo com o "tamanho" do período (repetição de números distintos), mas porquê?

Vamos utilizar um recurso matemático para provar isso:

1º Passo:

Chamaremos a dízima períodica de uma incógnita

0,222222222... = x

0,373737373... = y

0,375375375... = z

2º Passo:

Multiplicaremos a dízima períodica por múltiplos de 10, conforme o "tamanho" de sua periodicidade, isto é:

0,2|22222222222... x10 = 2,2222222222222... (Tamanho 1)

0,37|3737373737... x100 = 37,37373737373... (Tamanho 2)

0,375|375375375... x1000 = 375,375375375... (Tamanho 3)

3º Passo:

Faremos uma subtração baseada no 1º passo e 2º passo.

10x - x = 2,2222... - 0,2222...

9x = 2

x = 2/9

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100y - y = 37,373737... - 0,373737...

99y = 37

y = 37/99

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1000z - z = 375,375375375... - 0,375375375...

999z = 375

z = 375/999

Formula Geral para Dízima Periódica Simples:

G = P/"NOVES"

G = Geratriz

P = Valor de uma unidade de repetição (Período)

"NOVES" = Quantidade de "noves" de acordo com a quatidade de números que compõe uma unidade de repetição (Periodo).

Ex: 0,222... (9) ; 0,373737... (99); 0,212212212...(999)

G = 37/99

2º Dízima Periódica Composta

Com a dízima periódica composta é um pouco diferente, já que o nosso denominador provavelmente não será composto por "noves", isto é, não segue um comportamento único e padrão.

0,2355555... = 53/225

0,5617777... = 632/1125

0,7256111... = 13061/18000

1º Passo:

Multiplique a dízima por mútiplos de 10, conforme o "tamanho" dos números não periódicos (antiperiodo), isto é:

0,23|52525252... x100 = 23,55555555... (Tamanho 2)

0,561|7777... x1000 = 561,777777... (Tamanho 3)

0,7256|111... x10000 = 7256,1111... (Tamanho 4)

2º Passo:

Multiplique por quantos 10 forem necessários os resultado do 1º Passo e subtraia pelo valor do 1º Passo (Associando a uma incógnita), visto que, a intenção é eliminar a parte periodica.

10000x - 100x = 2352,52525252... - 23,52525252...

9900x=2329

x=2329/9900

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10000y - 1000y = 5617,777... - 561,777...

9000y=5056

y =5056/9000 (632/1125)

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100000z - 10000z = 72561,111... - 7256,111...

90000z = 65305

z = 65305/90000 (13061/18000)

Formula Geral para Dizíma Periódica Composta:

G = (AP - A)/("NOVES"U"ZEROS")

G = Geratriz

AP = Valor do Antiperiodo unido ao Periodo

A = Valor do Antiperiodo

"NOVES" = Quantidade de "noves" de acordo com a quatidade de números que compõe uma unidade de repetição (Periodo).

"ZEROS" = Quantidade de números que compõe um Antiperiodo.

Ex.: 0,2352525252... (9900) ; 0,5497777... (9000) ; 0,56789011111...(9000000)

G = (2352 - 23)/9900 = 2329/9900

Obs.: U representa união.

Dica:

Caso tenhamos um número antes da vírgula (parte inteira), não se preocupe, apenas preserve-o para posteriormente somar ao final do calculo da Geratriz, como no exemplo a seguir:

2,23555... = 2 + 53/225 = 503/225

Desafio:

a) Prove que 0,9999999.... é exatamente 1, por Geratriz.

b) Sabendo-se que o lado de um quadrado é 19√2, encontre o valor da multiplicação da diagonal deste com o inverso da geratriz da dizima periodica 0,52777.... para encontrar a area de um quadrado. Qual o valor do lado deste novo quadrado?

Um grande abraço a todos,

Carlos Roberto Roa