Curiosidades: Soma dos Naturais

              Desde pequeno venho me surpreendendo com as mágicas que acontecem com os números, me lembro de quando estava aprendendo números racionais (acredito que na quinta série), que a multiplicação de dois números podia resultar em um valor menor que ambos. Algo que hoje parece muito simples já me foi muito mágico.

                Ao entrar na faculdade de matemática imaginei que esses truques fossem desaparecer, mas foi ai que tudo piorou. A famosa “matemágica” apareceu ainda mais, e frases como “agora escolhemos multiplicar e dividir por 17, que vai dar certo no final” deveriam fazer sentido. Acreditem (pra mim ainda não) fazem sentido.

                Mas essa mágica que vi me deixou realmente surpreso. Tão surpreso que resolvi dividir com vocês, para quem entende inglês basta ver o vídeo, mas vou tentar explicar o que é dito nele.

                Vamos lá...

                A proposta é descobrir quanto vale “1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +...” (chamamos de S), ou seja, saber quanto vale a soma de todos os naturais. Imagino que vocês devam pensar “há, essa é fácil... é infinito”. Pois é, e ai eu digo

                Mas qual seria a resposta??

                Fácil... -1/12...

                QUE??? EIN???

                Aparentemente essa resposta não faz muito sentido, mas vou explicar como funciona a demonstração. Para isso precisamos de duas somas infinitas.

• 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1... (chamamos de S₁)
• 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6... (chamamos de S₂)

                E com essas duas conseguimos mostrar o valor de 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +...

                Agora vamos pensar um pouco sobre essas duas somas que citei a cima, principalmente sobre a primeira, qual resultado se 1 – 1 + 1 – 1... Pode não ficar muito claro, qual o resultado, mas perceba que se pararmos a soma em um elemento impar (os 1 positivos) temos como resultado o valor 1, e se pararmos a soma em um elemento par (os “– 1” ) temos como resultado da soma o valor 0.

                Certo, mas precisaremos de uma única resposta, mas qual escolher?? Bom na verdade não escolheremos nenhuma delas, vamos fazer algo diferente, mas diferente como?

                Vamos fazer o seguinte, somar S₁ + S₁ , ou seja,

                   Perfeito, agora temos tudo que precisamos para resolver a soma dos naturais. Para isso vamos fazer primeiro a seguinte conta “S – S₂”.

Bom, eu achei isso super legal, e você? Se quiser uma dica, use isso para ganhar algumas apostas.

Vídeo fonte: https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww#t=313