O teorema do Gráfico Fechado para aplicações multilineares

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Introdução

Sejam M e N espaços métricos e f : M → N uma função contínua. Então é fácil ver que o gráfico de f,

G(f ) := {(x, y) ∈ M × N : y = f (x)}

é um subconjunto fechado de M × N (estamos considerando em M × N a topologia produto). De fato, definindo

φ : (x, y) ∈ M × N → φ(x, y) = d(f (x), y) ∈ R

Vemos claramente que φ é contínua, pois a métrica d : M × N → R é contínua.

Portanto,

G(f) = φ^-1({0}) = {(x, y) ∈ M × N : φ(x, y) = 0} é fechado em M × N , pois {0} é fechado em R.

O Teorema do Gráfico Fechado trata da recíproca deste fato no contexto de espaços de Banach. Seu enunciado diz que se X, Y são espaços de Banach e T : X → Y uma transformação linear com gráfico fechado, então T é contínua.

Tal teorema é juntamente com o Princípio da Limitação Uniforme e o Teorema da Aplicação Aberta, um dos teoremas fundamentais no estudo dos espaços de Banach.

Neste trabalho, nos propomos a apresentar uma demonstração do Teorema do Gráfico Fechado para aplicações multilineares, ou seja, mostraremos que se

E₁ , E₂ , . . . , E_m , F são espaços de Banach e A : E₁ × . . . × E_m → F uma aplicação multilinear com gráfico fechado,

Então A é contínua.

Denotaremos por K o corpo dos números reais R ou o corpo dos números complexos C.

Aplicações Multilineares

[Definição 1] Sejam m ∈ N; E₁ , E₂ , . . . , E_m , e F espaços vetoriais sobre K. Dizemos que uma aplicação

A : E₁ × . . . × E_m → F é m-linear (multilinear) se é linear em cada variável.

De forma mais precisa, temos que

A : E₁ × . . . × E_m → F é m-linear se as funções x_i → A(x₁ , . . . , x_i-1 , x_i , x_i+1 , . . . , x_m ) são lineares.

O conjunto de todas as aplicações m-lineares torna-se um espaço vetorial se o munirmos com as operações usuais de espaços de funções. Denotemos por L_a (E₁ , E₂ , . . . , E_m ; F) o espaço vetorial de todas as aplicações m-lineares de E₁ × . . . × E_m em F . Se E₁ = · · · = E_m = E escreveremos apenas L_a(^mE; F ). Se E₁ , E₂ , . . . , E_m são espaços normados sobre K, então E₁ × . . . × E_m também torna-se um espaço normado se considerarmos qualquer uma das seguintes normas [...]