Progressão Geométrica
Antônio Teixeira
em 15 de Dezembro de 2014

Progressão Geométrica

E ai pessoal, tranquilo? Hoje é a minha primeira postagem aqui no blog e eu quero explicar como que vai ser o esquema por aqui! Vou escrever sempre sobre assuntos de exatas, mais especificamente física e matemática. Mas se você não é muito chegado nessas matérias, não se preocupe, a linguagem será sempre de fácil entendimento. E ah, se você é daqueles que se perguntam sempre: "pra que vou usar isso na minha vida?", fique sabendo que aqui o seu aprendizado fará sentido, com exemplos práticos e interessantes da aplicação na "vida real" do tema que discutirmos aqui. Bom, chega de blá blá blá e bora por a mão na massa!

1) Termo Geral

Uma progressão geométrica pode ser definida pelo seu termo geral a partir de um termo inicial a0 e uma razão q. Ela nada mais é que uma sequência de números, definidos por uma regra. Mas que regra é essa? Confira os exemplos abaixo!

Exemplo 1

Vamos supor que você pegou emprestado de um amigo 300 reais com a condição de que você pagasse juros mensal de 5%. Isto é, a cada mês, seria incrementado na sua dívida 5% do que você já devia. OBS: lembrar que 5% corresponde a 5 dividido por 100, ou seja: 0,05

Primeiro mês: o que eu devo + 0,05*o que eu devo= 300 + 0,05*300 = 300*(1+0,05) = 300*(1,05)

Segundo mês: o que eu devia no primeiro mês + 0,05*o que eu devia nele = 300*(1,05)+0,05*300*(1,05) = 300*(1,05)*(1+0,05) = 300*(1,05)*(1,05)

Terceiro mês: o que eu devida no segundo mês + 0,05 o que eu devia nele = 300*(1,05)*(1,05)*(1,05)

Ou seja, para este exemplo, temos que o que eu devo é uma progressão geométrica com a= 300 e q= 1,05. Ou seja, daqui n meses, ao invés de dever a0, eu deverei an. No mês n, eu vou dever 300 multiplicado por 1,05 elevado a n.

a= 300 reais

a= a0*q = 300*1,05 = 315 reais

a= a0*q2 = 300*1,05*1,05 = 330,75 reais

a= a0*qn (Fórmula do termo geral da progressão geométrica)

a= 300*(1,05)(Fórmula de quanto deverei no n-ésimo mês)

 

 Dívida em função do mês em um ano

 

Exemplo 2

Você tá lá na hora do intervalo comendo seu lanche, bem tranquilo, aí vem aquele amigo esfomeado e pede um pouco. Aí você, generoso(a) que é, dá metade pra ele e fica com metade pra você. Só que você tá bem de amigo esfomeado, e vem mais um pedir um "teco"... Então você resolve dar metade do que você tinha e ficar com a outra metade, de novo, e assim por diante. Supondo que você tenha n amigos esfomeados, com quanto você vai ficar do salgado?

a= 10 bisnagas e q = metade = 0,5

a1 = 10*0,5 = 5 bisnagas

a2 = 1*0,5*0,5 = 2,5 bisnagas 

a= a0*qn = 1*(0,5)n

 

Bisnagas pra mim em função do número de amigos

 

2) Soma dos termos de uma PG

Vimos no item acima, que uma PG pode ser definida como uma sequência de números que possui o n-ésimo termo igual a  a0*qn, mas agora estamos interessados na soma dos n primeiro termos desta sequência. Chamaremos de Sn a soma desses termos. Vamos lembrar que de 0 até (n-1), temos n termos. Para verificar isso basta fazer n = 4, por exemplo, e ver que entre 0 e 3 temos os números 0, 1, 2 e 3 (quatro números). Para n pequenos, é simples fazer a conta e verificar qual o resultado da soma, porém, para n maiores, precisamos de uma forma mais fácil de se calcular:

Sn =  a0 + a0*q + a0*q2 + a0*q3 + a0*q+ ... + a0*qn-1

q*S= a0*q + a0*q2 + a0*q3 + a0*q+ ... + a0*qn-1 + a0*q(Multipliquei os dois lados da equação por q)

S- q*S= a0 - a0*q(Fizemos a equação de cima menos a de baixo, note que os termos se repetem, então cortamos todos eles menos o ae o a0*q)

Sn*(1-q) = a0*(1-qn) (Botamos os termos repetidos em evidência)

Por fim, dividindo os dois lados por (1-q) temos que a soma dos n primeiros termos de uma PG é:

 

Exemplo

Você ganhou da sua tia um casal de porquinho-da-índia, ficou super feliz, comprou gaiolinha e tudo mais! Depois de 3 semanas tava cheio de porquinho na sua gaiola e sua mãe queria doar tudo! A soma dos termos de uma PG pode ser utilizada pra estimar quantos porquinhos você vai ter daqui n semanas!

Vamos supor que cada casal(2 porquinhos) dê origem a 4 filhotes a cada 1 semana, e que eles só se reproduzem uma vez. Ou seja, como 2 porquinhos dão origem a 4, temos que a proporção é de 2 porquinhos novos pra cada porquinho antigo (supondo que a população de machos e fêmeas seja igual). Assim, vemos que os porquinhos filhotes que nascem obedecem a uma PG com q=2, percebe? Na primeira semana serão 4 filhotes novos, na segunda 8, na terceira 16 e assim por diante!

Inicialmente: 2 porquinhos

Primeira semana: 2 porquinhos iniciais + 4 filhotes = 6 porquinhos

Segunda semana: 2 porquinhos iniciais + 4 filhotes (dois casais) + 8 novos filhotes (dos dois casais da geração passada) = 14 porquinhos

Terceira semana: 2 + 4 + 8 + 16 filhotes (filhotes dos 4 casais da geração passada) = 30 porquinhos

Se fôssemos continuar a fazer a soma nesse raciocínio, concorda que demoraríamos muito tempo se n fosse muito grande? Vamos então utilizar a formula da soma dos n primeiros termos de uma PG que acabamos de deduzir!

Para a terceira semana: n=4 (soma dos 4 primeiros termos, da semana 0 até a semana 3 temos 4 termos, lembre da verificação acima), q=2 e a0=2 então S4=2*(1-24)/(1-2)=2*(-15)/(-1)=30. Note que o resultado que obtemos é igual, comprovando que a fórmula funciona!

 

População de porquinhos em função das semanas

Note que para n=1 temos os 2 porquinhos iniciais e para n=4 (terceira semana) temos os 30 porquinhos que acabamos de calcular.

Curiosidade: Olhando a curva do crescimento da população de porquinhos, podemos verificar que as populações crescem exponencialmente. Essa característica exponencial de crescimento de populações levou Thomas Malthus a elaborar sua Teoria Populacional, que basicamente afirma que os homens passariam fome porque à medida que as pessoas nascem exponencialmente, a producão de comida cresce linearmente. E, como uma exponencial cresce muito mais que uma linha, teríamos mais pessoas que comida a partir de um certo ponto.

Bom pessoal, é isso aí! O post de hoje foi sobre Progressão Geométrica e espero que vocês tenham gostado! Qualquer dúvida ou comentário podem me mandar uma mensagem que a gente conversa! Valeu e até a próxima!

 

Antônio Teixeira

15/12/2014

São Paulo / SP
Graduação: Engenharia Civil (Escola Politécnica da Universidade de São Paulo)
Sou aluno de Engenharia da Escola Politécnica da USP, com grande interesse na área da educação em ciências exatas. Tenho experiência em aulas particulares, indo desde alunos do Ensino Médio e Fundamental até os do Ensino Superior. Gosto de saber a matéria antes para preparar uma aula adequada à expectativa do aluno(vestibular, provas, concursos, pesquisa). Para alunos do Ensino Médio e Fundamental: - Reforço de Matemática e Física - Lições de casa opcionais, para fixar melhor o apren ...
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