E ai pessoal, tranquilo? Hoje é a minha primeira postagem aqui no blog e eu quero explicar como que vai ser o esquema por aqui! Vou escrever sempre sobre assuntos de exatas, mais especificamente física e matemática. Mas se você não é muito chegado nessas matérias, não se preocupe, a linguagem será sempre de fácil entendimento. E ah, se você é daqueles que se perguntam sempre: "pra que vou usar isso na minha vida?", fique sabendo que aqui o seu aprendizado fará sentido, com exemplos práticos e interessantes da aplicação na "vida real" do tema que discutirmos aqui. Bom, chega de blá blá blá e bora por a mão na massa!
Uma progressão geométrica pode ser definida pelo seu termo geral a partir de um termo inicial a0 e uma razão q. Ela nada mais é que uma sequência de números, definidos por uma regra. Mas que regra é essa? Confira os exemplos abaixo!
Vamos supor que você pegou emprestado de um amigo 300 reais com a condição de que você pagasse juros mensal de 5%. Isto é, a cada mês, seria incrementado na sua dívida 5% do que você já devia. OBS: lembrar que 5% corresponde a 5 dividido por 100, ou seja: 0,05
Primeiro mês: o que eu devo + 0,05*o que eu devo= 300 + 0,05*300 = 300*(1+0,05) = 300*(1,05)
Segundo mês: o que eu devia no primeiro mês + 0,05*o que eu devia nele = 300*(1,05)+0,05*300*(1,05) = 300*(1,05)*(1+0,05) = 300*(1,05)*(1,05)
Terceiro mês: o que eu devida no segundo mês + 0,05 o que eu devia nele = 300*(1,05)*(1,05)*(1,05)
Ou seja, para este exemplo, temos que o que eu devo é uma progressão geométrica com a0 = 300 e q= 1,05. Ou seja, daqui n meses, ao invés de dever a0, eu deverei an. No mês n, eu vou dever 300 multiplicado por 1,05 elevado a n.
a0 = 300 reais
a1 = a0*q = 300*1,05 = 315 reais
a2 = a0*q2 = 300*1,05*1,05 = 330,75 reais
an = a0*qn (Fórmula do termo geral da progressão geométrica)
an = 300*(1,05)n (Fórmula de quanto deverei no n-ésimo mês)
Você tá lá na hora do intervalo comendo seu lanche, bem tranquilo, aí vem aquele amigo esfomeado e pede um pouco. Aí você, generoso(a) que é, dá metade pra ele e fica com metade pra você. Só que você tá bem de amigo esfomeado, e vem mais um pedir um "teco"... Então você resolve dar metade do que você tinha e ficar com a outra metade, de novo, e assim por diante. Supondo que você tenha n amigos esfomeados, com quanto você vai ficar do salgado?
a0 = 10 bisnagas e q = metade = 0,5
a1 = 10*0,5 = 5 bisnagas
a2 = 1*0,5*0,5 = 2,5 bisnagas
an = a0*qn = 1*(0,5)n
Vimos no item acima, que uma PG pode ser definida como uma sequência de números que possui o n-ésimo termo igual a a0*qn, mas agora estamos interessados na soma dos n primeiro termos desta sequência. Chamaremos de Sn a soma desses termos. Vamos lembrar que de 0 até (n-1), temos n termos. Para verificar isso basta fazer n = 4, por exemplo, e ver que entre 0 e 3 temos os números 0, 1, 2 e 3 (quatro números). Para n pequenos, é simples fazer a conta e verificar qual o resultado da soma, porém, para n maiores, precisamos de uma forma mais fácil de se calcular:
Sn = a0 + a0*q + a0*q2 + a0*q3 + a0*q4 + ... + a0*qn-1
q*Sn = a0*q + a0*q2 + a0*q3 + a0*q4 + ... + a0*qn-1 + a0*qn (Multipliquei os dois lados da equação por q)
Sn - q*Sn = a0 - a0*qn (Fizemos a equação de cima menos a de baixo, note que os termos se repetem, então cortamos todos eles menos o a0 e o a0*qn )
Sn*(1-q) = a0*(1-qn) (Botamos os termos repetidos em evidência)
Por fim, dividindo os dois lados por (1-q) temos que a soma dos n primeiros termos de uma PG é:
Você ganhou da sua tia um casal de porquinho-da-índia, ficou super feliz, comprou gaiolinha e tudo mais! Depois de 3 semanas tava cheio de porquinho na sua gaiola e sua mãe queria doar tudo! A soma dos termos de uma PG pode ser utilizada pra estimar quantos porquinhos você vai ter daqui n semanas!
Vamos supor que cada casal(2 porquinhos) dê origem a 4 filhotes a cada 1 semana, e que eles só se reproduzem uma vez. Ou seja, como 2 porquinhos dão origem a 4, temos que a proporção é de 2 porquinhos novos pra cada porquinho antigo (supondo que a população de machos e fêmeas seja igual). Assim, vemos que os porquinhos filhotes que nascem obedecem a uma PG com q=2, percebe? Na primeira semana serão 4 filhotes novos, na segunda 8, na terceira 16 e assim por diante!
Inicialmente: 2 porquinhos
Primeira semana: 2 porquinhos iniciais + 4 filhotes = 6 porquinhos
Segunda semana: 2 porquinhos iniciais + 4 filhotes (dois casais) + 8 novos filhotes (dos dois casais da geração passada) = 14 porquinhos
Terceira semana: 2 + 4 + 8 + 16 filhotes (filhotes dos 4 casais da geração passada) = 30 porquinhos
Se fôssemos continuar a fazer a soma nesse raciocínio, concorda que demoraríamos muito tempo se n fosse muito grande? Vamos então utilizar a formula da soma dos n primeiros termos de uma PG que acabamos de deduzir!
Para a terceira semana: n=4 (soma dos 4 primeiros termos, da semana 0 até a semana 3 temos 4 termos, lembre da verificação acima), q=2 e a0=2 então S4=2*(1-24)/(1-2)=2*(-15)/(-1)=30. Note que o resultado que obtemos é igual, comprovando que a fórmula funciona!
Note que para n=1 temos os 2 porquinhos iniciais e para n=4 (terceira semana) temos os 30 porquinhos que acabamos de calcular.
Curiosidade: Olhando a curva do crescimento da população de porquinhos, podemos verificar que as populações crescem exponencialmente. Essa característica exponencial de crescimento de populações levou Thomas Malthus a elaborar sua Teoria Populacional, que basicamente afirma que os homens passariam fome porque à medida que as pessoas nascem exponencialmente, a producão de comida cresce linearmente. E, como uma exponencial cresce muito mais que uma linha, teríamos mais pessoas que comida a partir de um certo ponto.
Bom pessoal, é isso aí! O post de hoje foi sobre Progressão Geométrica e espero que vocês tenham gostado! Qualquer dúvida ou comentário podem me mandar uma mensagem que a gente conversa! Valeu e até a próxima!
Antônio Teixeira
15/12/2014
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