Encontrando raízes de polinômios de grau maior que 2

Raízes de uma função.

As raízes de uma função de uma variável são os valores da variável onde a função assume valor zero e encontrá-las pode ser necessário em diversos momentos, como por exemplo: descobrir os valores da incógnita de uma equação, determinar o domínio de uma função, determinar o sinal de uma função, simplificar uma expressão, descobrir máximos e mínimos de funções, pontos de inflexão e por aí vai...

Vou explicar e demonstrar aqui um teorema muito interessante para descobrir possíveis raízes racionais para polinômios de coeficientes inteiros. Esse teorema é muito útil pois não existe uma fórmula geral para descobrir raízes de polinômios de grau maior do que 2, onde utilizamos a fórmula de Bhaskara.

O que diz o teorema?

O teorema diz que todas as raízes racionais de um polinômio de coeficientes inteiros serão da forma sendo e primos entre si, onde é divisor do coeficiente do termo de grau e é divisor do termo de maior grau do polinômio.

E na prática, como utilizamos?

Vamos fazer um exemplo para entendermos o teorema. Vamos determinar as raízes da função .

O teorema fala sobre o valor de , que precisa ser divisor do coeficiente do termo de grau , ou seja, neste caso os possíveis valores de serão os divisores de : .

Agora vamos aos possíveis valores de , esses serão os divisores do termo de maior grau, o primeiro : .

Agora resta fazer as combinações possíveis dos valores de e e verificar se são raízes, ou seja, substituir e verificar se a função zera.

Substituindo na equação descobrimos que as raízes são e como o polinômio é de grau essa é a máxima quantidade de raízes reais que ele pode ter

Algumas observações.

As raízes que podemos descobrir por esse método são apenas as raízes racionais, ou seja, se houverem raízes irracionais elas não serão descobertas assim, para descobrí-las podemos reduzir o grau do polinômio usando o algoritmo de Briot-Ruffini até chegar em grau 2 e terminar utilizando a fórmula de Bhaskara. E se o polinômio não tiver o termo independente significa que é raiz, então é só colocar em evidência e prosseguir.

Dicas: sempre teste as raízes e antes mesmo de descobrir os possíveis valores de , pois com e é mais fácil fazer conta e se alguma delas for raiz você já encontrou uma. Segunda dica, pense rapidamente antes de testar os valores para poder testar primeiro os mais fáceis, pois a quantidade de raízes é limitada e isso pode poupar trabalho.

Agora vamos à demonstração.

Essa é uma parte do texto para os mais curiosos, mas envolve um raciocínio matemático muito interessante, então sugiro a leitura até para quem não gosta muito.

Considere o polinômio de coeficientes inteiros .

Como todo número racional pode ser escrito na forma , sendo e  primos entre si, se determinado valor racional é raiz do polinômio, ele também pode ser escrito dessa forma. Então vamos utilizar essa informação e considerar um valor de que seja raiz do polinômio. Ou seja, vamos substituir no polinômio. Ser raíz significa que . A partir disso, teremos:

Multiplicando a equação por , obtemos:

E podemos escrever a equação acima da seguinte forma:

Agora precisamos notar que  é inteiro, pois e são inteiros, pois foi o que supomos no início da demonstração. Então ao final ficamos com:

Como o lado esquerdo é inteiro, o direito também precisa ser. Como e são primos entre si, precisa, necessariamente, ser divisível por , ou seja, precisa poder ser escrito na forma , sendo inteiro.

Para o caso de ser divisor de a demonstração é análoga. Basta usarmos .