Uma Generalização de Briot Ruffini
Elzo R.
em 20 de Julho de 2020

Você já conhece os  conceitos de polinômios, envolvendo grau, igualdade, e também em algum momento já desenvolveu o algoritmo da divisão de polinômio, então, já deve está familiarizado com divisão de polinômios pelo dispositivo de Briot Ruffini. Neste artigo veremos que, o algoritmo de Briot Ruffini pode ser generalizado, ou seja, podemos dividir um polinômio f(x) por outro polinômio g(x) com g(x) de grau n  \in \mathbb{N}  . Em resumo neste dispositivo o divisor g(x) poderá obter grau > 1 que mesmo assim conseguiremos efetuar a divisão.

Neste artigo as definições e os principais resultados são baseados no artigo de Lenimar Nunes de Andrade.

Vamos agora construir um diagrama semelhante ao de briot Ruffini para dividirmos o polinômio f(x)=3x^5-6x^4+13x^3-9x^2+11x-1  pelo o polinômio g(x)=x^2-2x+3

\begin{tabular}{c |c c c c c c c}\\ --&3&-6&13&-9&11&-1\\\hline 2&--&6&0&8&-2&--&--\\ -3&--&--&-9&0&-12&3&--\\\hline --&3&0&4&-1&$\|$-3&2     \end{tabular}

Logo, na divisão do polinômio f(x)=3x^5 -6x^4+13x^3-9x^2+11x-1 pelo polinômio g(x)=x^2-2x+3 obtivemos
q(x)=3x^3+4x-1 e  r(x)=-3x+2.

De forma análoga ao dispositivo de Briot Ruffini, neste diagrama cada elemento da última linha é obtido somando os elementos acima dele, na coluna a qual pertence.  

Veja a seguir a descrição da construção do diagrama anterio.

\begin{tabular}{c |c c c c c c c} \\    --&$a_{11}$& $a_{12}$& $a_{13}$&$a_{14}$&$a_{15}$&$a_{16}$\\\hline $-b_{21}$&--&$c_{22}=q_{41}(-b_{21})$&$c_{23}=(-b_{21})(a_{12}+c_{22})$&$c_{24}=(-b_{21})(a_{13}+c_{23}+q_{41})$&$c_{25}=a_{14}+c_{24}+a_{12}+c_{22}(-b_{31})(-b_{21})$&--&--\\ $-b_{31}$&--&--&$d_{33}=q_{41}(-b_{31})$&$d_{34}=a_{12}+c_{22}(-b_{31})$&$d_{35}=a_{13}+c_{23}+q_{41}(-b_{31})^2  $&$d_{36}= a_{14}+c_{24}+a_{12}+c_{22}(-b_{31})^2   $&--\\\hline --&$q_{41}$&$q_{42}=a_{12}+c_{22}$&$q_{43}=a_{13}+c_{23}+d_{33}$&$q_{44}=a_{14}+c_{24}+d_{34}$&$\|$ $r_{45}=a_{15}+c_{25}+d_{35} $&$r_{46}=a_{16}+d_{36}  $      \end{tabular}

Veja a seguir o Passo a Passo de como Construir o diagrama anterior.

Primeiro Passo: Devemos escrever no diagrama os coeficientes de f(x). Mas temos que seguir a ordem decrescente das potências de x. Os Coeficientes nulos deverão ser considerados.

Segundo Passo: Devemos escrever os coeficientes de g(x), exceto o do termo de maior grau, na primeira coluna do diagrama,mas com sinais trocados.

Terceiro Passo: Repetimos os elementos da primeira linha e primeira coluna na última linha. da primeira coluna. devemos deixar vagos os espaços correspondentes aos elementos situados abaixo da diagonal que se inicia no elemento da primeira linha e primeira coluna.

Quarto Passo: Devemos escrever os elementos da última linha da esquerda para direita. Para cada elemento \lambda escrito na última linha, é feito o produto de  \lambda pelos os elementos de g(x) da primeira coluna e distribuímos esses produtos no diagrama seguindo uma diagonal que se inicia na segunda linha e coluna a direita de \lambda descendo para quarta linha e terceira coluna à direita de  \lambda

Quinto Passo: Assim que escrevermos a diagonal mencionada no item anterior, somamos os elementos escritos na coluna logo á direita de \lambda, escrevendo a soma na última linha da mesma coluna.


Sexto Passo: Devemos repetir os itens (4) e (5) seguidamente, até escrevermos o elemento da última linha e última coluna do diagrama. Devem ser deixados vagos os espaços correspondentes aos elementos da segunda e terceira linhas situados acima da diagonal iniciada na última coluna da penúltima linha

Este diagrama é de fácil aplicação e sua objetividade traz uma vantagem em relação a trabalhosa divisão euclidiana na qual tínhamos que efetuar

Referência bibliográfica

ANDRADE., L. N. de.Uma Generalização de Briot Ruffini. [S.l.]: RPM 34.

 

Tailândia / PA
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