Eletromagnestismo: Equação de Poisson

para cálculo de Potencial Elétrico em regiões desconhecidas

Física

Ensino Superior

Eletromagnetismo

Potencial eletrostático

A equação de Poisson é uma equação diferencial parcial que permite descobrir valores de grandezas físicas no Eletromagnestismo e na Engenharia Mecânica. O seu nome é devido ao seu autor, matemático e físico francês Siméon Denis Poisson.

Em um conjunto aberto $U\subset \mathbb{R}^n$ , a equação de Poisson é definida por:

$\Delta \varphi =f$

onde, $f:U\to {\mathbb {R}}$ é uma função chamada de termo fonte e $\Delta$ denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):

\Delta \varphi :=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{i}^{2}}}

Aqui, a incógnita $\varphi$ é uma função de $U\subset \mathbb{R}^n$ em $\mathbb{R}.$ Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por $\nabla^2$ , denominado operador nabla. Esta notação é motivada pelo fato de que $\Delta = \nabla \cdot \nabla$ , onde $\nabla$ é o gradiente (medida da variação de uma função em cada uma de suas variáveis. Quando $f\equiv 0$ a equação é chamada de equação de Laplace.

No Eletromagnetismo, a equação de Poisson é utilizada para estimar valores de potencial elétrico em regiões onde ele é desconhecido. Para esse objetivo, é utilizada a Lei de Gauss, que estabelece a relação entre o fluxo de campo elétrico $\Phi _{E}=\oint _{S'}E\ dA$ através de uma superfície fechada com a carga elétrica q (no interior (int) da superfície da integral de Gauss) que existe dentro do volume limitado por essa superfície S:

$\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {q_{int}}{\varepsilon _{0}}}$

onde $\epsilon _{0}$

$q_{int}=\int _{V}\rho \ \mathrm {d} \tau$

$onde dτ é o elemento de volume V a ser integrado.$

$A Lei de Gauss pode ser transformada na sua forma diferencial pelo teorema da divergência (que transforma a integral de superfície em uma integral de volume (ferramenta matemática), para isso trabalhando com a medida da variação do campo E no espaço (o divergente).$

$\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {E} ){d}\tau$

$Utilizando o Teorema de Stokes , temos que:$

$\int _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {E} \right){d}\tau =\int _{V}\left({\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right){d}\tau$

$Da igualdade vem que:$

${\overrightarrow {\nabla }}\bullet {\overrightarrow {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

$Essa é a Lei de Gauss na forma diferencial, que é também considerada a primeira Lei de Maxwell do Eletromagnetismo.$

$Combinando a Lei de Gauss na forma diferencial com a definição de campo elétrico E em termos do potencial elétrico V ( o campo é negativo da variação do Potencial) , temos a equação de Poisson para Eletromagnetismo:$

$E = -\nablaφ (definição de campo elétrico em termos do pótencial elétrico)$

$Aplicando o operador gradiente em ambos os lados da equação, vem que:$

$\nabla^2$

$Essa é a Equação de Poisson :$ $Laplaciano (o divergente do gradiente) do potencial elétrico \nabla\cdot(\nablaφ), num meio com densidade de carga ρ, é igual ao negativo da densidade de carga sobre a constante dielétrica do meio ε. Se o meio é o vácuo ε é a .$ $\epsilon _{0}$ De outra forma, onde está $\epsilon _{0}$ , deve ser substituído por $ε na Lei de Gauss.$

$Para um dado problema, a Eq. de Poisson em conjunto com as condições de contorno do enunciado do problema (valores de campo Elétrico ou de cotencial Elétrico conhecidos) permitem encontrar a distribuição de potencial elétrico em todas as regiões.$

$Então da propriedade de Poisson de que uma função φ pode ser escrita como:$

$\Delta \varphi :=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{i}^{2}}}$

$\nabla^2$

$cabe agora escolher as coordenadas mais apropriadas para descrever matematicamente a geometria do sistema físico em questão e aplicar a equação de Poisson acima$

Caso em duas dimensões

Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano $\mathbb{R}^2$ , a equação de Poisson toma a forma (em coordenadas cartesianas):

{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=f(x,y)

Em coordenadas polares $(r,~\theta)$ , a equação torna-se:

{\frac {\partial ^{2}g}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial g}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial \theta ^{2}}}=h(r,\theta )

Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis $x = r\text{cos }\theta$ , $y = r\text{sen }\theta$ , $g(r,\theta )=\varphi (r{\text{cos }}\theta ,r{\text{sen }}\theta )$ e $h(r,\theta )=\phi (r{\text{cos }}\theta ,~r{\text{sen }}\theta )$ .

Caso em três dimensões

Em três dimensões, i.e. no espaço euclidiano $\mathbb{R}^3$ , a equação de Poisson toma a forma (em coordenadas cartesianas):

{\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial z^{2}}=f(x,y,z)

Em coordenadas cilíndricas $(\rho ,~\theta ,~z)$ , a equação torna-se:

{1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial g \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}g \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}g \over \partial z^{2}}=h(\rho ,\theta ,z)

Pode-se obter esta fazendo as mudanças de variáveis $x = r\text{cos }\theta$ , $y = r\text{sen }\theta$ , $g(r,\theta ,z)=\varphi (r{\text{cos }}\theta ,r{\text{sen }}\theta ,z)$ e $h(r,\theta ,z)=\phi (r{\text{cos }}\theta ,~r{\text{sen }}\theta ,z)$ .