Eletromagnestismo: Equação de Poisson

A equação de Poisson é uma equação diferencial parcial que permite descobrir valores de grandezas físicas no Eletromagnestismo e na Engenharia Mecânica. O seu nome é devido ao seu autor, matemático e físico francês Siméon Denis Poisson. 

Em um conjunto aberto  , a equação de Poisson é definida por:

onde,  é uma função chamada de termo fonte e  denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):

Aqui, a incógnita  é uma função de  em  Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por , denominado operador nabla. Esta notação é motivada pelo fato de que  , onde  é o gradiente (medida da variação de uma função em cada uma de suas variáveis. Quando a equação é chamada de equação de Laplace. 

No Eletromagnetismo, a equação de Poisson é utilizada para estimar valores de potencial elétrico em regiões onde ele é desconhecido. Para esse objetivo, é utilizada a Lei de Gauss, que estabelece a relação entre o fluxo de campo elétrico  através de uma superfície fechada com a carga elétrica q (no interior (int) da superfície da integral de Gauss) que existe dentro do volume limitado por essa superfície S:

onde   é a constante de permissividade elétrica no vácuo. A carga, por sua vez pode ser descrita como a integral da densidade de carga no volume que a superfície de Gauss delimita: 

onde dτ é o elemento de volume V a ser integrado.

A Lei de Gauss pode ser transformada na sua forma diferencial pelo teorema da divergência (que transforma a integral de superfície em uma integral de volume (ferramenta matemática), para isso trabalhando com a medida da variação do campo E no espaço (o divergente).

Utilizando o Teorema de Stokes , temos que:

Da igualdade vem que:

Essa é a Lei de Gauss na forma diferencial, que é também considerada a primeira Lei de Maxwell do Eletromagnetismo.

Combinando a Lei de Gauss na forma diferencial com a definição de campo elétrico E em termos do potencial elétrico V ( o campo é negativo da variação do Potencial) , temos a equação de Poisson para Eletromagnetismo:

E = −∇φ        (definição de campo elétrico em termos do pótencial elétrico)

Aplicando o operador gradiente em ambos os lados da equação,  vem que: 

∇E=−∇⋅(∇φ) =- φ=ρ/ε

Essa é a Equação de Poisson: Laplaciano (o divergente do gradiente) do potencial elétrico ∇⋅(∇φ), num meio com densidade de carga ρ, é igual ao negativo da densidade de carga sobre a constante dielétrica do meio ε. Se o meio é o vácuo ε é a .    De outra forma, onde está , deve ser substituído por ε na Lei de Gauss.

Para um dado problema, a Eq. de Poisson em conjunto com as condições de contorno do enunciado do problema (valores de campo Elétrico ou de cotencial Elétrico conhecidos) permitem encontrar a distribuição de potencial elétrico em todas as regiões. 

Então da propriedade de Poisson  de que uma função φ  pode ser escrita como:

=φ=ρ/ε   é a equação de Poisson para a função de potencial elétrico φ.

cabe agora escolher as coordenadas mais apropriadas para descrever matematicamente a geometria do sistema físico em questão e aplicar a equação de Poisson acima

Caso em duas dimensões

Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano , a equação de Poisson toma a forma (em coordenadas cartesianas):

.

Em coordenadas polares , a equação torna-se:

,

Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis , ,  e .

Caso em três dimensões

Em três dimensões, i.e. no espaço euclidiano , a equação de Poisson toma a forma (em coordenadas cartesianas):

.

Em coordenadas cilíndricas, a equação torna-se:

Pode-se obter esta fazendo as mudanças de variáveis , ,  e .

Em coordenadas esféricas , a equação toma a forma:

.