Um pouco sobre Relações de equivalência

Seja R um subconjunto de A × A. Diremos que R define uma relação de
equivalência em A se
1. (a, a) ∈ R para todo a ∈ A
2. Se (a, b) ∈ R então (b, a) ∈ R
3. Se (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R então (a, c) ∈ R

Assim, pensaremos nas relações de equivalência como subconjuntos do produto
A × A e olharemos como sendo relações binárias em A. Logo, podemos admitir que a se
relaciona com b quando (a, b) ∈ R.

A relação binária ≡ sobre A é uma relação de equivalência sobre A se
1. (Reflexiva ) a ≡ a ∀a ∈ A,
2. (Simétrica) a ≡ b ⇒ b ≡ a, ∀a, b ∈ A
3. (Transitiva) a ≡ b e b ≡ c ⇒ a ≡ c ∀a, b, c ∈ A

Definimos a classe de equivalência de um elemento a ∈ A como sendo o
conjunto
(a) = {x ∈ A; x ≡ a}.

O conjunto quociente de A é o conjunto formado por todas as classes de
equivalência e será denotado por A/ ≡.
Diremos que a relação binária ≡ é antissimétrica se
a ≡ b e b ≡ a ⇒ a = b.

Uma das aplicações para o uso de relação de equivalência é para a construção do conjunto dos Números inteiros e conjunto dos Números Racionais.