PROPRIEDADES DAS ESTATÍSTICAS #3

Estatística Probabilidade

PRINCÍPIO DA SUFICIÊNCIA

Definição:

Formalmente, dizemos que uma estatística $T(\textbf{X})$ é suficiente para o parâmetro $\theta$ se a distribuição condicional da amostra $\textbf{X}$ dado o valor de $T(\textbf{X})$ não depende de $\theta$ .

Para o caso em que $T(\textbf{X})$ possui uma distribuição contínua, temos que $P(T(\textbf{X}) = t) = 0$ para qualquer valor $t$ . Neste caso, é necessário utilizar uma definição um pouco mais sofisticada de probabilidade condicional definida no livro de Processo Estocástico. Os resultados aqui estabelecidos serão realizados para o caso discreto, porém também são verdadeiros para o caso contínuo. Para facilitar o entendimento da Definição 3.1.1.1, seja $t$ um valor possível de $T(\textbf{X})$ . O objetivo aqui é considerar a probabilidade condicional $P(\textbf{X} = \textbf{x}|T(\textbf{X}) = t)$ . Neste caso, se $\textbf{x}$ é tal que se $T(\textbf{x}) \neq t$ então $P(\textbf{X} = \textbf{x}|T(\textbf{X} = t) = 0$ . Pela definição, se $T(\textbf{X})$ é uma estatística suficiente, a esperança condicional é a mesma para todos os valores de $\theta$ .