PROPRIEDADES DAS ESTATÍSTICAS #6

Estatística Geral Distribuições De Probabilidade

Princípio da equivariância:

Definição 1

Um conjunto de funções $f\in\mathcal{G}\} $$ do espaço amostral $\Omega$ em $\Omega$ é chamado de grupo de transformações de $\Omega$ se as seguintes propriedades são satisfeitas

1) Toda função $f\in\mathcal{G}$ possui função inversa $f^{-1}$ .

2) Se $f\in\mathcal{G}$ e $g\in\mathcal{G}$ então existe $h\in\mathcal{G}$ tal que $h = f\circ g\in\mathcal{G}$ .

3) A identidade $e(\textbf{x}) = \textbf{x}$ é um elemento de $\mathcal{G}$ .

A propriedade 3 é uma consequência das duas anteriores e, portanto, não precisa ser verificada separadamente.

Retornando ao Exemplo 3.1.3.1 verificamos que existem apenas duas transformações envolvidas, de forma que tomamos o conjunto $\mathcal{G} = \{f,g\}$ com $f(x) = n - x$ e $g(x) = x$ . Neste caso, a função $g$ é a inversa da função $f$ e, com isso a propriedade 1 está satisfeita. Além disso, na propriedade 2, $f\circ g(x) = f(x), g\circ f(x) = f(x), f\circ f(x) = g(x)$ e $g\circ g(x) = g(x)$

Como já comentamos, para utilizar o Princípio da Equivariância, precisamos utilizar a invariância formal ao problema transformado, ou seja, após a mudança na escala de medição, precisamos ter a mesma estrutura formal para a inferência estatística. Neste caso, queremos que o modelo, ou família de distribuições, seja invariante.