Domínio, contradomínio e Imagem

Matemática

Ensino Médio

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Funções

Teoria dos Números

Álgebra

O domínio, o contradomínio e a imagem são conjuntos numéricos relacionados por funções matemáticas. Estas transformam valores através de suas leis de formação e os transportam de um conjunto de saída, o domínio, para um conjunto de chegada, o contradomínio.

Do conjunto domínio saem os valores que serão transformados pela fórmula da função, ou lei de formação. Após, estes valores chegam no contradomínio.

Ao subconjunto formado pelos elementos que chegam no contradomínio dá-se o nome de conjunto imagem.

Desta forma, domínio, contradomínio e imagem são conjuntos não vazios e podem ser finitos ou infinitos.

Domínio, contradomínio e imagem

No estudo das funções é preciso especificar quais elementos ou, qual a abrangência destes conjuntos. Por exemplo: conjunto dos números naturais ou conjunto dos números reais.

Dado um domínio A em que cada elemento x que o pertença, é transformado pela função em um elemento y que pertença ao contradomínio B, cada elemento y é chamado imagem de x.

Para designar o domínio e o contradomínio de uma função, utiliza-se a notação:

$reto f dois pontos reto A seta para a direita reto B$ (lemos f de A em B)

Estas leis de transformação são expressões que envolvem operações e valores numéricos.

Exemplo
Uma função f:A→B definida pela lei de formação f(x) = 2x, em que seu domínio é o conjunto A={1, 2, 3} e o contradomínio B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, pode ser representada pelos valores da tabela e pelos diagramas:

Domínio x	f(x) = 2x	Imagem y
1	f(1) = 2 . 1	2
2	f(2) = 2 . 2	4
3	f(3) = 2 . 3	6

Domínio

f(x) = 2x

Imagem

f(1) = 2 . 1

f(2) = 2 . 2

f(3) = 2 . 3

Organizando os resultados da tabela nos diagramas:

Função e seus conjuntos.

Domínio

Domínio D de uma função f é o conjunto de saída, composto pelos elementos x aplicados na função.

Geometricamente, em um plano cartesiano, os elementos do domínio formam o eixo x, das abcissas.

Na notação $f dois pontos espaço A seta para a direita B$ o domínio é representado pela letra antes da seta.

Todo elemento x do domínio tem pelo menos uma imagem y no contradomínio.

Contradomínio

Contradomínio CD é o conjunto de chegada. Na notação $f dois pontos espaço A seta para a direita B$ é representado do lado direito da seta.

Imagem

Imagem Im é um subconjunto do contradomínio, formado pelos elementos y que saem da função e chegam ao contradomínio, podendo possuir o mesmo número de elementos, ou um número menor.

Desta forma o conjunto imagem de uma função f, está contido no contradomínio.

$Im parêntese esquerdo reto f parêntese direito espaço subconjunto espaço CD parêntese esquerdo reto f parêntese direito$

Geometricamente, em um plano cartesiano os elementos do conjunto imagem formam o eixo y, das ordenadas.

É comum dizer que y é o valor assumido pela função f(x) e, desta forma, escrevemos:

$reto y igual a reto f parêntese esquerdo reto x parêntese direito$

É possível que um mesmo elemento y seja imagem de mais de um elemento x do domínio.

Exemplo
Na função $espaço f dois pontos reto números inteiros seta para a direita reto números naturais$ definida pela lei $f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a x ² espaço$ , para valores x simétricos do domínio, temos uma única imagem y.

$f parêntese esquerdo 1 parêntese direito espaço igual a espaço 1 ao quadrado igual a 1 e f parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço igual a espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito ao quadrado igual a 1$

Exercícios sobre domínio, contradomínio e imagem

Exercício 1

Dados os conjuntos A = {8, 12, 13, 20, 23} e B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}, determine: domínio, o contradomínio e imagem das funções.

a) f: A → B definida por f(x) = 2x + 1

b) f: A → B definida por f(x) = 3x - 14

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a) f: A → B definida por f(x) = 2x + 1

Domínio A = {8, 12, 13, 20, 23}
Contradomínio B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Imagem Im(f) ={17,25,27,41,47}

D(f)	f(x)=2x+1	Im(f)
8	f(8)=2.8+1	17
12	f(12)=2.12+1	25
13	f(13)=2.13+1	27
20	f(20)=2.20+1	41
23	f(23)=2.23+1	47

b) f: A → B definida por f(x) = 3x - 14

Domínio A = {8, 12, 13, 20, 23}
Contradomínio B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Imagem Im(f) ={10, 22, 25, 46, 55}

D(f)	f(x) = 3x - 14	Im(f)
8	f(8)=3.8 - 14	10
12	f(12)=3.12 - 14	22
13	f(13)=3.13 - 14	25
20	f(20)=3.20 - 14	46
23	f(23)=3.23 - 14	55

Exercício 2

Determine o domínio das funções definidas por:

$a parêntese direito espaço f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a numerador espaço 4 espaço mais espaço 5 x espaço sobre denominador 2 x espaço menos espaço 4 fim da fração$

$b parêntese direito espaço f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a raiz quadrada de espaço x espaço menos espaço 5 fim da raiz$

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O domínio é o conjunto dos possíveis valores que x pode assumir.

a) Sabemos que não é possível existir divisão por zero 0, desta forma o denominador deve ser diferente de zero.

$2 x espaço menos espaço 4 espaço não igual 0 2 x não igual 4 x não igual 4 sobre 2 x não igual 2$

$D parêntese esquerdo f parêntese direito igual a chaveta esquerda x pertence reto números reais dividido por x não igual 2 chaveta direita$

Lemos: x pertence aos reais tal que x diferente de 2.

b) Não existe raiz quadrada de número negativo. Desta forma, o radicando deve ser maior ou igual a zero.

$x menos 5 maior que ou igual a inclinado 0 x maior que ou igual a inclinado 5$

$D parêntese esquerdo f parêntese direito igual a chaveta esquerda x pertence reto números reais dividido por x maior que ou igual a inclinado 5 chaveta direita$

Lemos: x pertence aos reais tal que x maior ou igual a 5.

Exercício 3

Dada a função com domínio no conjunto dos inteiros $f parêntese esquerdo x parêntese direito espaço igual a espaço x ao quadrado$ qual é o conjunto imagem de f(x) ?

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O conjunto Z dos números inteiros admite os números negativos e positivos onde dois números consecutivos distam 1 unidade.

Desta forma, a função admite valores positivos e negativos. No entanto, como x está elevado ao quadrado, todo valor, mesmo negativo, retornará um valor positivo.

Exemplo
f(-2) = (-2)² = -2 . (-2) = 4

Desta forma, haverão apenas números naturais na imagem.

$I m parêntese esquerdo f parêntese direito igual a reto números naturais$

Aplicações e curiosidades

As funções possuem aplicação no estudo de qualquer fenômeno em que um parâmetro dependa de outro. Como, por exemplo, a velocidade de um móvel com o passar do tempo, os efeitos de um fármaco com as características de acidez no estômago, a temperatura de uma caldeira com a quantidade de combustível.

As funções estão presentes nos fenômenos reais e, por isto, possuem aplicação em todo estudo científico e de engenharia.

O estudo das funções não é recente, alguns registros na Antiguidade em tábuas babilônicas mostram que já faziam parte da matemática. Com o passar dos anos a notação, maneira como se escrevem, foi recebendo contribuições de diversos matemáticos e se aprimorando, até como as utilizamos hoje