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Exercícios de equação exponencial
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Por: Marco S.
19 de Outubro de 2023

Exercícios de equação exponencial

Matemática Ensino Médio Reforço Escolar Resolução de problemas Teoria dos Números

Pratique seus conhecimentos sobre equações exponenciais. Aproveite para tirar as dúvidas com os exercícios resolvidos passo a passo.

Questão 1

Resolva a seguinte equação exponencial:quinta raiz de 2 à potência de reto x fim da raiz igual a 1 sobre 32.

Resposta: x = -25

Vamos igualar as bases das potências utilizando fatoração, propriedades de potências e radiciação.

quinta raiz de 2 à potência de reto x fim da raiz igual a 1 sobre 32 2 à potência de x sobre 5 fim do exponencial igual a abre parênteses 32 fecha parênteses à potência de menos 1 fim do exponencial 2 à potência de x sobre 5 fim do exponencial igual a abre parênteses 2 à potência de 5 fecha parênteses à potência de menos 1 fim do exponencial 2 à potência de x sobre 5 fim do exponencial igual a 2 à potência de menos 5 fim do exponencial

Eliminamos as bases e igualamos os expoentes.

reto x sobre 5 igual a menos 5 reto x igual a menos 5 espaço. espaço 5 espaço reto x igual a menos 25

Questão 2

Determine o valor de x que torna a igualdade verdadeira na equação:5 à potência de reto x igual a 1 sobre 25.

Resposta: x = -2.

Igualando as bases:

5 à potência de reto x igual a 1 sobre 25 5 à potência de reto x igual a abre parênteses 25 fecha parênteses à potência de menos 1 fim do exponencial 5 à potência de reto x igual a abre parênteses 5 ao quadrado fecha parênteses à potência de menos 1 fim do exponencial 5 à potência de reto x igual a 5 à potência de menos 2 fim do exponencial

Eliminamos as bases e igualamos os expoentes.

reto x igual a menos 2

Questão 3

Resolva a equação exponencial 3 à potência de 2 reto x fim do exponencial menos 3 à potência de reto x igual a 6.

Resposta: x = 1.

Vamos utilizar uma incógnita auxiliar:

reto y igual a 3 à potência de reto x

Substituindo na equação:

3 à potência de 2 reto x fim do exponencial menos 3 à potência de reto x igual a 6

reto y ao quadrado menos reto y igual a 6 reto y ao quadrado menos reto y menos 6 igual a 0

Resolvendo a equação do segundo grau em y:

incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a abre parênteses menos 1 fecha parênteses ao quadrado menos 4.1. abre parênteses menos 6 fecha parênteses incremento igual a 1 mais 24 incremento igual a 25

reto y com 1 subscrito igual a numerador menos reto b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. reto a fim da fração reto y com 1 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito mais raiz quadrada de 25 sobre denominador 2.1 fim da fração reto y com 1 subscrito igual a numerador 1 mais 5 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a 6 sobre 2 igual a 3

reto y com 2 subscrito igual a numerador menos reto b menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. reto a fim da fração reto y com 2 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito menos raiz quadrada de 25 sobre denominador 2.1 fim da fração y com 2 subscrito igual a numerador 1 menos 5 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 2

Agora, para cada valor de y, determinamos o x correspondente.

reto y igual a 3 à potência de reto x 3 igual a 3 à potência de reto x 3 à potência de 1 igual a 3 à potência de reto x 1 igual a reto x

Como para y = -2 não há raiz, a solução é x = 1.

Questão 4

Determine o conjunto solução de 3 à potência de 2 reto x fim do exponencial menos 12 espaço. espaço 3 à potência de reto x espaço mais espaço 27 igual a 0.

Resposta: S={1, 2}

3 à potência de 2 reto x fim do exponencial menos 12 espaço. espaço 3 à potência de reto x espaço mais espaço 27 igual a 0 reto y ao quadrado menos 12 reto y mais 27 igual a 0

Resolvendo a equação do segundo grau:

incremento igual a parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito ao quadrado menos 4.1.27 incremento igual a 144 menos 4.1.27 incremento igual a 144 menos 108 incremento igual a 36

reto y com 1 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito mais raiz quadrada de 36 sobre denominador 2.1 fim da fração reto y com 1 subscrito igual a numerador 12 mais 6 sobre denominador 2 fim da fração igual a 18 sobre 2 igual a 9

reto y com 2 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito menos raiz quadrada de 36 sobre denominador 2.1 fim da fração reto y com 2 subscrito igual a numerador 12 menos 6 sobre denominador 2 fim da fração igual a 6 sobre 2 igual a 3

Para cada valor de y, determinamos o correspondente em x.

reto y com 1 subscrito igual a 3 à potência de reto x 9 igual a 3 à potência de reto x 3 ao quadrado igual a 3 à potência de reto x 2 igual a reto x

reto y com 2 subscrito igual a 3 à potência de reto x 3 igual a 3 à potência de reto x 3 à potência de 1 igual a 3 à potência de reto x 1 igual a reto x

Assim, o conjunto solução é S={1, 2}

Questão 5

Resolva a seguinte equação exponencial: cúbica raiz de 3 à potência de reto x menos 5 fim do exponencial fim da raiz igual a 27.

Resposta: x = 14

Vamos igualar as bases das potências em ambos os lados da equação.

Para isso, transformamos a raiz em uma potência com expoente fracionário e fatoramos o 27.

cúbica raiz de 3 à potência de reto x menos 5 fim do exponencial fim da raiz igual a 27 abre parênteses 3 à potência de reto x menos 5 fim do exponencial fecha parênteses à potência de 1 terço fim do exponencial igual a 3 ao cubo

Fazendo a distributiva do 1/3, temos:

3 à potência de reto x sobre 3 menos 5 sobre 3 fim do exponencial igual a 3 ao cubo

Uma vez que as bases estejam iguais, podemos eliminá-las, deixando apenas os expoentes.

reto x sobre 3 menos 5 sobre 3 igual a 3 numerador reto x menos 5 sobre denominador 3 fim da fração igual a 3 reto x menos 5 igual a 3.3 reto x menos 5 igual a 9 reto x igual a 9 mais 5

Desta forma, x = 14.

Questão 6

(PUC-RJ 2014) O número de bactérias N em um meio de cultura que cresce exponencialmente pode ser determinado pela equação reto N igual a reto N com 0 subscrito reto e à potência de kt em que No é a quantidade inicial, isto é, No = N (0) e k é a constante de proporcionalidade. Se inicialmente havia 5000 bactérias na cultura e 8000 bactérias 10 minutos depois, quanto tempo será necessário para que o número de bactérias se torne duas vezes maior que o inicial? (Dados ln 2 = 0,69 e ln 5 = 1,61)

a) 11 minutos e 25 segundos.

b) 11 minutos e 15 segundos.

c)15 minutos.

d) 25 minutos.

e) 25 minutos e 30 segundos.

Resposta: c) 15 minutos

Temos que inicialmente havia 5000 bactérias, logo N com 0 subscrito igual a 5000.

Também sabemos que quanto t = 10, N = 8000. Substituindo estes valores na equação:

reto N igual a reto N com 0 subscrito reto e à potência de kt 8000 igual a 5000 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial

Podemos dividir ambos os lados por 1000.

8 igual a 5 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial

Fatorando o 8 e escrevendo na base 2:

2 ao cubo igual a 5 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial

O enunciado nos fornece os valores de logaritmos. É importante saber que:

ln espaço reto e espaço igual a espaço 1

Voltando para linha anterior, vamos aplicar o ln dos dois lados da equação.

2 ao cubo igual a 5 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial ln 2 ao cubo igual a ln 5 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial

Utilizando as propriedades dos logaritmos:

ln espaço 2 ao cubo igual a ln espaço 5 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial 3. ln espaço 2 igual a ln espaço 5 espaço mais espaço ln espaço reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial

Vamos substituir os valores dos logaritmos já conhecidos.

3. ln espaço 2 igual a ln espaço 5 espaço mais espaço k 10 ln espaço reto e 3. espaço 0 vírgula 69 igual a 1 vírgula 61 espaço mais reto k 10 espaço. espaço 1 espaço 2 vírgula 07 espaço igual a espaço 1 vírgula 61 espaço mais espaço 10 reto k 2 vírgula 07 espaço menos espaço 1 vírgula 61 espaço igual a espaço 10 reto k 0 vírgula 46 espaço igual a espaço 10 reto k reto k igual a numerador 0 vírgula 46 sobre denominador 10 fim da fração reto k igual a 0 vírgula 046

O dobro da quantidade inicial são 10 000 bactérias, então:

10 espaço 000 espaço igual a espaço 5 espaço 000. reto e à potência de reto k. reto t fim do exponencial numerador 10 espaço 000 sobre denominador 5 espaço 000 fim da fração igual a reto e à potência de reto k. reto t fim do exponencial 2 igual a reto e à potência de reto k. reto t fim do exponencial

Aplicando mais uma vez ln dos dois lados da igualdade:

ln espaço 2 espaço igual a espaço reto k. reto t. espaço ln espaço reto e 0 vírgula 69 espaço igual a espaço 0 vírgula 046 espaço. espaço reto t espaço reto t igual a numerador 0 vírgula 69 sobre denominador 0 vírgula 046 fim da fração reto t igual a 15

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