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Exercícios de equação exponencial

19/10/23

Profes / Blog / Matemática

Ensino Médio Reforço Escolar Resolução de problemas Teoria dos Números

Pratique seus conhecimentos sobre equações exponenciais. Aproveite para tirar as dúvidas com os exercícios resolvidos passo a passo.

Questão 1

Resolva a seguinte equação exponencial: $quinta raiz de 2 à potência de reto x fim da raiz igual a 1 sobre 32$ .

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Resposta: x = -25

Vamos igualar as bases das potências utilizando fatoração, propriedades de potências e radiciação.

$quinta raiz de 2 à potência de reto x fim da raiz igual a 1 sobre 32 2 à potência de x sobre 5 fim do exponencial igual a abre parênteses 32 fecha parênteses à potência de menos 1 fim do exponencial 2 à potência de x sobre 5 fim do exponencial igual a abre parênteses 2 à potência de 5 fecha parênteses à potência de menos 1 fim do exponencial 2 à potência de x sobre 5 fim do exponencial igual a 2 à potência de menos 5 fim do exponencial$

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Eliminamos as bases e igualamos os expoentes.

$reto x sobre 5 igual a menos 5 reto x igual a menos 5 espaço. espaço 5 espaço reto x igual a menos 25$

Questão 2

Determine o valor de x que torna a igualdade verdadeira na equação: $5 à potência de reto x igual a 1 sobre 25$ .

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Resposta: x = -2.

Igualando as bases:

$5 à potência de reto x igual a 1 sobre 25 5 à potência de reto x igual a abre parênteses 25 fecha parênteses à potência de menos 1 fim do exponencial 5 à potência de reto x igual a abre parênteses 5 ao quadrado fecha parênteses à potência de menos 1 fim do exponencial 5 à potência de reto x igual a 5 à potência de menos 2 fim do exponencial$

Eliminamos as bases e igualamos os expoentes.

$reto x igual a menos 2$

Questão 3

Resolva a equação exponencial $3 à potência de 2 reto x fim do exponencial menos 3 à potência de reto x igual a 6$ .

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Resposta: x = 1.

Vamos utilizar uma incógnita auxiliar:

$reto y igual a 3 à potência de reto x$

Substituindo na equação:

$3 à potência de 2 reto x fim do exponencial menos 3 à potência de reto x igual a 6$

$reto y ao quadrado menos reto y igual a 6 reto y ao quadrado menos reto y menos 6 igual a 0$

Resolvendo a equação do segundo grau em y:

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a abre parênteses menos 1 fecha parênteses ao quadrado menos 4.1. abre parênteses menos 6 fecha parênteses incremento igual a 1 mais 24 incremento igual a 25$

$reto y com 1 subscrito igual a numerador menos reto b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. reto a fim da fração reto y com 1 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito mais raiz quadrada de 25 sobre denominador 2.1 fim da fração reto y com 1 subscrito igual a numerador 1 mais 5 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a 6 sobre 2 igual a 3$

$reto y com 2 subscrito igual a numerador menos reto b menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. reto a fim da fração reto y com 2 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito menos raiz quadrada de 25 sobre denominador 2.1 fim da fração y com 2 subscrito igual a numerador 1 menos 5 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 2$

Agora, para cada valor de y, determinamos o x correspondente.

$reto y igual a 3 à potência de reto x 3 igual a 3 à potência de reto x 3 à potência de 1 igual a 3 à potência de reto x 1 igual a reto x$

Como para y = -2 não há raiz, a solução é x = 1.

Questão 4

Determine o conjunto solução de $3 à potência de 2 reto x fim do exponencial menos 12 espaço. espaço 3 à potência de reto x espaço mais espaço 27 igual a 0$ .

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Resposta: S={1, 2}

$3 à potência de 2 reto x fim do exponencial menos 12 espaço. espaço 3 à potência de reto x espaço mais espaço 27 igual a 0 reto y ao quadrado menos 12 reto y mais 27 igual a 0$

Resolvendo a equação do segundo grau:

$incremento igual a parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito ao quadrado menos 4.1.27 incremento igual a 144 menos 4.1.27 incremento igual a 144 menos 108 incremento igual a 36$

$reto y com 1 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito mais raiz quadrada de 36 sobre denominador 2.1 fim da fração reto y com 1 subscrito igual a numerador 12 mais 6 sobre denominador 2 fim da fração igual a 18 sobre 2 igual a 9$

$reto y com 2 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito menos raiz quadrada de 36 sobre denominador 2.1 fim da fração reto y com 2 subscrito igual a numerador 12 menos 6 sobre denominador 2 fim da fração igual a 6 sobre 2 igual a 3$

Para cada valor de y, determinamos o correspondente em x.

$reto y com 1 subscrito igual a 3 à potência de reto x 9 igual a 3 à potência de reto x 3 ao quadrado igual a 3 à potência de reto x 2 igual a reto x$

$reto y com 2 subscrito igual a 3 à potência de reto x 3 igual a 3 à potência de reto x 3 à potência de 1 igual a 3 à potência de reto x 1 igual a reto x$

Assim, o conjunto solução é S={1, 2}

Questão 5

Resolva a seguinte equação exponencial: $cúbica raiz de 3 à potência de reto x menos 5 fim do exponencial fim da raiz igual a 27$ .

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Resposta: x = 14

Vamos igualar as bases das potências em ambos os lados da equação.

Para isso, transformamos a raiz em uma potência com expoente fracionário e fatoramos o 27.

$cúbica raiz de 3 à potência de reto x menos 5 fim do exponencial fim da raiz igual a 27 abre parênteses 3 à potência de reto x menos 5 fim do exponencial fecha parênteses à potência de 1 terço fim do exponencial igual a 3 ao cubo$

Fazendo a distributiva do 1/3, temos:

$3 à potência de reto x sobre 3 menos 5 sobre 3 fim do exponencial igual a 3 ao cubo$

Uma vez que as bases estejam iguais, podemos eliminá-las, deixando apenas os expoentes.

$reto x sobre 3 menos 5 sobre 3 igual a 3 numerador reto x menos 5 sobre denominador 3 fim da fração igual a 3 reto x menos 5 igual a 3.3 reto x menos 5 igual a 9 reto x igual a 9 mais 5$

Desta forma, x = 14.

Questão 6

(PUC-RJ 2014) O número de bactérias N em um meio de cultura que cresce exponencialmente pode ser determinado pela equação $reto N igual a reto N com 0 subscrito reto e à potência de kt$ em que No é a quantidade inicial, isto é, No = N (0) e k é a constante de proporcionalidade. Se inicialmente havia 5000 bactérias na cultura e 8000 bactérias 10 minutos depois, quanto tempo será necessário para que o número de bactérias se torne duas vezes maior que o inicial? (Dados ln 2 = 0,69 e ln 5 = 1,61)

a) 11 minutos e 25 segundos.

b) 11 minutos e 15 segundos.

c)15 minutos.

d) 25 minutos.

e) 25 minutos e 30 segundos.

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Resposta: c) 15 minutos

Temos que inicialmente havia 5000 bactérias, logo $N com 0 subscrito igual a 5000$ .

Também sabemos que quanto t = 10, N = 8000. Substituindo estes valores na equação:

$reto N igual a reto N com 0 subscrito reto e à potência de kt 8000 igual a 5000 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial$

Podemos dividir ambos os lados por 1000.

$8 igual a 5 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial$

Fatorando o 8 e escrevendo na base 2:

$2 ao cubo igual a 5 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial$

O enunciado nos fornece os valores de logaritmos. É importante saber que:

$ln espaço reto e espaço igual a espaço 1$

Voltando para linha anterior, vamos aplicar o ln dos dois lados da equação.

$2 ao cubo igual a 5 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial ln 2 ao cubo igual a ln 5 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial$

Utilizando as propriedades dos logaritmos:

$ln espaço 2 ao cubo igual a ln espaço 5 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial 3. ln espaço 2 igual a ln espaço 5 espaço mais espaço ln espaço reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial$

Vamos substituir os valores dos logaritmos já conhecidos.

$3. ln espaço 2 igual a ln espaço 5 espaço mais espaço k 10 ln espaço reto e 3. espaço 0 vírgula 69 igual a 1 vírgula 61 espaço mais reto k 10 espaço. espaço 1 espaço 2 vírgula 07 espaço igual a espaço 1 vírgula 61 espaço mais espaço 10 reto k 2 vírgula 07 espaço menos espaço 1 vírgula 61 espaço igual a espaço 10 reto k 0 vírgula 46 espaço igual a espaço 10 reto k reto k igual a numerador 0 vírgula 46 sobre denominador 10 fim da fração reto k igual a 0 vírgula 046$

O dobro da quantidade inicial são 10 000 bactérias, então:

$10 espaço 000 espaço igual a espaço 5 espaço 000. reto e à potência de reto k. reto t fim do exponencial numerador 10 espaço 000 sobre denominador 5 espaço 000 fim da fração igual a reto e à potência de reto k. reto t fim do exponencial 2 igual a reto e à potência de reto k. reto t fim do exponencial$

Aplicando mais uma vez ln dos dois lados da igualdade:

$ln espaço 2 espaço igual a espaço reto k. reto t. espaço ln espaço reto e 0 vírgula 69 espaço igual a espaço 0 vírgula 046 espaço. espaço reto t espaço reto t igual a numerador 0 vírgula 69 sobre denominador 0 vírgula 046 fim da fração reto t igual a 15$

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