“Fórmula de Bhaskara” é considerada uma das mais importantes da matemática.
Ela é usada para resolver as equações de segundo grau, ou seja, determinar os valores reais da incógnita que tornam verdadeira a igualdade. Para isso, são usados os valores dos coeficientes a, b e c.
A Fórmula de Bhaskara é expressa da seguinte maneira:
Onde,
x: é uma variável chamada de incógnita
a: coeficiente quadrático
b: coeficiente linear
c: coeficiente constante
Discriminante da Equação
A expressão dentro da raiz quadrada na fórmula de Bhaskara é chamada discriminante da equação e é representada pela letra grega delta (Δ), ou seja:
Normalmente essa expressão é calculada separadamente, pois conforme o valor encontrado, podemos saber antecipadamente o número de raízes da equação e se pertencem ao conjunto dos números reais.
Note que a, b e c são as constantes da equação e o valor de Delta (Δ) pode ocorrer de três maneiras:
Se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas.
Se o valor de Δ for igual a zero (Δ = 0), a equação apresentará uma raiz real.
Se o valor de Δ for menor que zero (Δ<0), a equação não possui raízes reais.
Assim, substituindo a expressão do discriminante por delta, a fórmula de Bhaskara ficará:
Exemplo
Quantas e quais são as raízes da equação 
?
Solução
O primeiro passo para resolver uma equação usando a fórmula de Bhaskara é identificar os coeficientes da equação. Desta forma, os coeficientes na equação são: a = + 1, b = - 5 e c = + 6.
Para saber o número de raízes, precisamos calcular o valor do delta, assim temos:
Como delta é maior que zero 
, então a equação terá duas raízes reais e distintas. Vamos agora aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor das raízes.
Lembre-se que uma raiz quadrada tem duas respostas, uma positiva e uma negativa, por isso, repetimos o cálculo com a fórmula de Bhaskara, utilizando o valor positivo e negativo.
Assim, as duas raízes da equação são 2 e 3.
Equações de Segundo Grau
As EQUAÇÕES DE SEGUNDO GRAU são chamadas "equações quadráticas”, dado que determinam os valores de uma equação polinomial de grau dois. São as equações onde o maior expoente é 2.
Elas são representadas pela expressão:
Nesse caso, a, b e c são números reais e a ≠ 0, por exemplo:
2x2 + 3x + 5 = 0
Onde,
a = 2
b = 3
c = 5
Observe que se o coeficiente a for igual a zero, o que temos é uma equação do primeiro grau:
bx + c = 0
Para compreender melhor os coeficientes (a, b, c) da equação de segundo grau, confira abaixo alguns exemplos:
x2 - 1 = 0 ⇒ a = 1; b = 0; c = - 1
- x2 + 2x = 0 ⇒ a = - 1; b = 2; c = 0
- 4x2 = 0 ⇒ a = - 4; b = 0; c = 0
2x2 + 3x + 5 = 0 ⇒ a = 2; b = 3; c = 5
3x2 - 4x + 1 = 0 ⇒ a = 3; b = - 4; c = 1
Classificações das Equações de Segundo Grau
As equações do 2º grau podem ser de dois tipos:
A fórmula de Bhaskara é mais utilizada nas equações de segundo grau completas. Nas incompletas também pode ser usada, entretanto, existem métodos mais simples para resolvê-las.
Função do segundo grau e fórmula de Bhaskara
As funções do segundo grau são determinadas por polinômios do segundo grau.
Esta função tem o domínio real (eixo x) e sua imagem está determinada no intervalo que vai do vértice ao infinito, [vértice, infinito).
O gráfico da função do segundo grau é uma parábola e pode ter concavidade para cima (se o coeficiente a, que multiplica o termo x² é positivo, ou para baixo quando a é negativo.
Os pontos de intersecção entre a curva da função e o eixo x são as raízes determinadas pela fórmula de Bhaskara.
Exemplo
Esboce em um plano cartesiano a curva da função do 2° grau:
Resolução:
Como o parâmetro a que multiplica o termo x² é negativo, no caso a = -1, a parábola é aberta para baixo, possui concavidade para baixo.
Para conhecer os pontos onde a curva corta o eixo x, temos que determinar as raízes da equação do segundo grau. Para isso, igualamos a função à 0.
Determinando as raízes
Os coeficientes são:
a = -1
b = 1
c = 6
Discriminante:
Utilizando a fórmula de Bhaskara e considerando os valores positivos e negativos da raiz quadrada:
As raízes da equação são -2 e 3, dessa forma, a curva cortará o eixo x nestes pontos.
Plotando o gráfico da função temos:
Curiosidade
A fórmula de Bhaskara recebe esse nome uma vez que faz homenagem ao matemático e astrônomo indiano Bhaskara Akaria ou Bhakara II (1114-1185). Ele é considerado um dos mais importantes matemáticos do século XII.
Exercício de Fórmula de Bhaskara
(PUC- Campinas) Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, em que a e b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a:
a) a2 - 2b
b) a2 + 2b
c) a2 – 2b2
d) a2 + 2b2
e) a2 – b2
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