Progressão Aritmética

A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A..

Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior.

Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (P.G.), pois nesta, os números são multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados.

As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (P.A. finita) ou um número infinito de termos (P.A. infinita).

Para indicar que uma sequência continua indefinidamente utilizamos reticências, por exemplo:

• a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma P.A. infinita.
• a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita.

Cada termo de uma P.A. é identificado pela posição que ocupa na sequência e para representar cada termo utilizamos uma letra (normalmente a letra a) seguida de um número que indica sua posição na sequência.

Por exemplo, o termo a₄ na P.A (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que ocupa a 4ª posição na sequência.

Classificação de uma P.A.

De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em:

• Constante: quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0.
• Crescente: quando a razão for maior que zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), sendo r = 2.
• Decrescente: quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5

Propriedades da P.A.

1ª propriedade:

Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Exemplo

2ª propriedade:

Considerando três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos.

Exemplo

3ª propriedade:

Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética entre termos equidistantes deste. Esta propriedade deriva da primeira.

Onde,

an: termo que queremos calcular
a1: primeiro termo da P.A.
n: posição do termo que queremos descobrir
r: razão

Explicação da fórmula

Como a razão de uma P.A. é constante, podemos calcular seu valor a partir de quaisquer termos consecutivos, ou seja:

Sendo assim, podemos encontrar o valor do segundo termo da P.A. fazendo:

Para encontrar o terceiro termo utilizaremos o mesmo cálculo:

Substituindo o valor de a₂, que encontramos anteriormente, temos:

Se seguirmos o mesmo raciocínio, podemos encontrar:

Observando os resultados encontrados, notamos que cada termo será igual a soma do primeiro termo com a razão multiplicada pela posição anterior.

Esse cálculo é expresso através da fórmula do termo geral da P.A., que nos permite conhecer qualquer elemento de uma progressão aritmética.

Exemplo

Calcule o 10° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)

Solução

Primeiro, devemos identificar que:

a₁ = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (10º termo).

Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, temos:

a_n = a₁ + (n - 1) . r
a₁₀ = 26 + (10-1) . 5
a₁₀ = 26 + 9 .5
a₁₀ = 71

Portanto, o décimo termo da progressão aritmética indicada é igual a 71.

Fórmula do termo geral a partir de um termo k qualquer

Muitas vezes, para definir um termo genérico qualquer, que chamamos de an, não temos o primeiro termo a1, mas conhecemos outro qualquer, que chamamos de ak.

Podemos usar a fórmula do termo geral a partir de um termo k qualquer:

Repare que a única diferença, foi a mudança do índice 1 na primeira fórmula, pelo k, na segunda.

Sendo,

an: o n-ésimo termo da P.A. (um termo numa posição n qualquer)
ak: o k-ésimo termo de uma P.A. (um termo numa posição k qualquer)
r: a razão

Soma dos Termos de uma P.A.

Para encontrar a soma dos termos de uma P.A. finita, basta utilizar a fórmula:

Onde,

S_n: soma dos n primeiros termos da P.A.
a₁: primeiro termo da P.A.
a_n: ocupa a enésima posição na sequência (uma termo na posição n)
n: posição do termo