Duas retas distintas que estão em um mesmo plano são concorrentes quando possuem um único ponto em comum.
As retas concorrentes formam entre si 4 ângulos e de acordo com as medidas desses ângulos, elas podem ser perpendiculares ou oblíquas.
Quando os 4 ângulos formados por elas são iguais a 90º, elas são chamadas perpendiculares.
Na figura abaixo as retas r e s são concorrentes perpendiculares.
Já se os ângulos formados forem diferentes de 90º, elas são chamadas concorrentes oblíquas. Na figura abaixo representamos as retas u e v oblíquas.
Posição Relativa de Duas Retas
Conhecendo as equações de duas retas podemos verificar suas posições relativas. Para isso devemos resolver o sistema formado pelas equações das duas retas. Assim temos:
Exemplo:
Determine a posição relativa entre a reta r: x - 2y - 5 = 0 e a reta s: 2x - 4y - 2 = 0.
Solução:
Para encontrar a posição relativa entre as retas dadas, devemos calcular o sistema de equações formado por suas retas, assim temos:
Ao resolver o sistema por adição encontramos a seguinte equação 0y = - 8, como não existe solução para essa equação, ele é impossível. Desta forma, as duas retas são paralelas.
Ângulos Opostos pelo Vértice
Duas retas concorrentes formam dois pares de ângulos. Estes ângulos possuem um ponto em comum que é chamado de vértice.
Os pares de ângulos que são opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.
Na figura abaixo, representamos os ângulos AÔB e CÔD que são opostos pelo vértice, assim como os ângulos AÔC e BÔD.
Ponto de Intersecção entre Duas Retas Concorrentes
O ponto de intersecção entre duas retas concorrentes pertence às equações das duas retas. Desta forma, podemos encontrar as coordenadas desse ponto em comum, resolvendo o sistema formado pelas equações dessas retas.
Exemplo:
Determine as coordenadas de um ponto P comum as retas r e s, cujas equações são x + 3y + 4 = 0 e 2x - 5y - 2 = 0, respectivamente.
Solução:
Para encontrar as coordenadas do ponto, devemos resolver o sistema com as equações dadas. Assim temos:
Resolvendo o sistema, temos:
Substituindo esse valor na primeira equação encontramos:
Logo, as coordenadas do ponto de intersecção são
, ou seja
.
Retas Concorrentes, Coincidentes e Paralelas
Duas retas que pertençam a um mesmo plano podem ser concorrentes, coincidentes ou paralelas.
Enquanto as retas concorrentes apresentam um único ponto de intersecção, as retas coincidentes possuem pelo menos dois pontos em comum e as retas paralelas não possuem pontos em comum.
Exercícios Resolvidos
1) Em um sistema de eixos ortogonais, - 2x + y + 5 = 0 e 2x + 5y - 11 = 0 são, respectivamente, as equações das retas r e s. Determine as coordenadas do ponto de intersecção de r com s.
2) Quais as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que as equações das retas-suporte de seus lados são: - x + 4y - 3 = 0, - 2x + y + 8 = 0 e 3x + 2y - 5 = 0 ?
3) Determine a posição relativa das retas r: 3x - y -10 = 0 e s: 2x + 5y - 1 = 0.
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