Tintim por tintim: velocidade terminal de uma bola

Física Mecânica
Tintim por tintim: velocidade terminal de uma bola
Marcus V.
em 09 de Junho de 2020

Na série de textos tintim por tintim, apresento a resolução bem detalhada de problemas desafiadores.

 

Retirado do livro 'Física I', de Sears & Zemansky. Capítulo 5, exercício 5.124.

Considere uma bola lançada do alto de um edifício., considerando que o ar durante a queda exerce uma força 'f' sobra a bola. Em queda livre, atua sobre a bola duas forças, seu peso P, para baixo e a força f para cima, na direção contrária ao movimento. Usando a segunda lei de Newton e as expressões para o peso P e a força de arrasto f, temos:

\sum F = m a                   f = Dv^2                    P=mg                a = dv/dt

m dv/dt  = P - f      ->      m dv/dt = mg - Dv^2.

A força de arrasto f, sendo proporcional a velocidade ao quadrado, aumenta ( reduzindo a aceleração da bola ) até que seu valor se iguale ao peso. Neste momento a aceleração é nula e o movimento passa a ser retilíneo uniforme, atingindo a velocidade terminal.

Seja v_T a velocidade terminal. Usando a informação dita anteriormente temos:

dv_T/dt = 0      Usando a segunda lei de Newton:     0 = mg - Dv_T^2       ->     v_T = \sqrt(mg/D) velocidade terminal  (1)

 

Como seria a descrição da velocidade em função do tempo, sabendo que a velocidade inicial é nula ? Considere a equação diferencial:

m \frac{dv}{dt} = mg - Dv^2  ->    m dv =  (mg - Dv^2) dt     ->     \frac{mdv}{(mg - Dv^2)}=dt    ->     \frac{mdv}{D(mg/D - v^2)} = dt   ->   \frac{dv}{(mg/D - v^2)} = \frac{D}{m}dt    

 

Na expressão anterior, ao lado esquerdo temos a variável de integração v e uma constante mg/D, no denominador.

fazendo substituição de variáveis:    x = v      a^2 = mg/D   a expressão se torna:

\frac{dx}{(a^2 - x^2)} = \frac{g}{a^2} dt    (2)

A continuidade da solução exige que seja feito a integração em ambos lados da igualdade. No lado esquerdo usaremos o método das frações parciais:

\frac{1}{(a^2 - x^2)} =   \frac{A}{(a-x)} + \frac{B}{(a+x)}  = \frac{A(a+x) + B(a-x)}{(a-x)(a+x)} =  \frac{ a(A+B) +x(A-B)}{(a^2 - x^2)}

a igualdade impõe que:

x(A-B) = 0       A=B  (3)

a(A+B) = 1  usando o resultado anterior:    2aA= 1  ->    A = 1/2a  (4)

Usando os resultados (3) e (4) podemos retomando o calculo do lado esquerdo da integral (2) :

 

\int \frac{dx}{(a^2 - x^2)}  =   \frac{1}{2a} \int \Big\[ \frac{1}{(a-x)} + \frac{1}{(a+x)}  \Big\] dx =  \frac{1}{2a} \Big\[  \int \frac{dx}{(a-x)} + \int \frac{dx}{(a+x)}  \Big\] =

\frac{1}{2a} \Big\[  -ln(a-x) + ln(a+x) \Big\] =   \frac{1}{2a} ln \Big\[  \frac{(a+x)}{(a-x)} \Big\]      Usando o resultado e integrando o lado direito da igualdade (2):

 

\frac{1}{2a} ln \Big\[  \frac{(a+x)}{(a-x)} \Big\] = \frac{gt}{a^2}       ->     ln \Big\[  \frac{(a+x)}{(a-x)} \Big\] = \frac{2gt}{a}         ->       \frac{(a+x)}{(a-x)} = exp \Big\[ \frac{2gt}{a} \Big\]   

  (a+x) =(a-x) exp \Big\[ \frac{2gt}{a} \Big\]      ->      x( exp [2gt/a] + 1) = a(exp [2gt/a] - 1)     ->    x = a \frac{(exp [2gt/a] - 1)}{( exp [2gt/a] + 1)}          ->      x =a  \frac{(  e^{gt/a} + e^{-gt/a})}{(  e^{gt/a} - e^{-gt/a})}   

 

v = a* tgh\Big\[ \frac{gt}{a} \Big\]

Análise dimensional:  [a²] = [kg][m/s²]/[Kg/m]   ->  [a] = m/s      [g/a] = [m/s²]/[/m/s] = [1/s] 

Tangente hiperbólica - Wikipedia, la enciclopedia libre 

O gráfico da função tangente hiperbólico se estagna em 1 quando o argumento da função tende ao infinito. Isso significa que quando  o tempo transcorrido é alto, a velocidade do corpo tente ao valor 'a', que é o mesmo da velocidade terminal calculado. 

 

Niterói / RJ
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