Fração Geratriz: definições e exemplos

Matemática Ensino Fundamental
Fração Geratriz: definições e exemplos
Maykon F.
em 07 de Junho de 2021

Conceitualmente, a fração geratriz é um tipo de fração (logo, um número racional) que, após a divisão de seu numerador pelo denominador, produz uma sequência decimal de algarismos infinitamente, denominado dízima.

Confuso com a definição? Antes de tudo, vamos relembrar alguns conceitos importantes pra você se situar:

Dízima: nada mais é do que toda fração cuja divisão não resulta em um número decimal exato, ou seja, o quociente da fração produz um número com infinitas casas decimais. Por exemplo:

0,234567... (1)

2,555555... (2)

0,348181... (3)

0,222222... (4)

Período: é a repetição infinita de termos numéricos depois da vírgula. Por exemplo, na dízima (2) o período é 5, pois é o algarismo que se repete indefinidamente. A dízima (3) possui como período o número 81; e a dízima (4), o número 2. Consegue perceber que a dízima (1) não possui período?

Anteperíodo: é o algarismo que não se repete e que se encontra antes do período, como o nome sugere. Perceba que somente a dízima (3) possui anteperíodo, que no caso é o número 34;

Parte inteira: de forma simples, é o número antes da vírgula da dízima. Nos exemplos, somente a dízima (2) possui parte inteira, no caso, o algarismo 2;

Diante disso, há basicamente dois tipos de dízimas:

Dízimas periódicas: são dízimas que possuem período. Se subdividem em:

Simples: a parte decimal da dizima é formada apenas pelo período;

Compostas: a parte decimal da dizima é formada pelo período e anteperíodo;

Dízimas não periódicas: são dízimas que não possuem período.

PRATICANDO: DOS EXEMPLOS ACIMA, QUAL A CLASSIFICAÇÃO DE CADA UMA DELAS?

 
Como encontrar a fração geratriz equivalente a uma dízima periódica?

Sabemos que, para encontrar a dízima periódica equivalente a uma fração geratriz, basta efetuar normalmente a divisão da fração. Agora vamos aprender a fazer a operação inversa. Há dois métodos principais para tal:

Método tradicional

Para encontrar uma fração geratriz sem parte inteira (ou seja, com algarismo zero antes da vírgula), siga os passos de acordo com o exemplo da dízima (4):

1º: relacionar a dízima periódica com uma incógnita, criando uma equação de primeiro grau:

X = 0,222222...

2º: multiplicar os dois lados da igualdade por um múltiplo de 10, de acordo com a quantidade de números do período:

10 * x = 0,222222... * 10

10x = 2,222222...

3º: subtrair a segunda igualdade da primeira igualdade e resolver a equação resultante:

10x – x = 2,222222... – 0,222222...

9x = 2

x = 2/9

PRATICANDO: REPITA OS PASSOS PARA AS DÍZIMAS (1), (2) E (3)!

DICA: COMO A DÍZIMA (2) TEM PARTE INTEIRA DIFERENTE DE ZERO, SEPARE-A POR MEIO DA SOMA 2 + 0,555555..., RESOLVA A DÍZIMA E DEPOIS SOME A FRAÇÃO GERATRIZ COM A PARTE INTEIRA.

Método “ninja”

Mas, e para o caso das dízimas periódicas COMPOSTAS?

Além de colocar o 9 para cada algarismo do período, deve-se adicionar o zero ao denominador, também para cada algarismo do anteperíodo. No numerador deve ser realizado o cálculo: (parte inteira com anteperíodo e período) - (parte inteira com anteperíodo). Vamos fazer apenas com base no método “ninja” para não causar dúvidas desnecessárias.

Exemplo 1: Qual a fração geratriz da dízima periódica 0,171353535...?

1º: colocar o 9 para cada algarismo do período, no caso, duas vezes: 99;

2º: adicionar os zeros para o número de algarismos do anteperíodo. No caso, o denominador ficará 99000;

3º: para o numerador, fazer a subtração entre a parte inteira com anteperíodo e período (17135) e a parte inteira com anteperíodo (171) para encontrar a fração geratriz. No caso, temos:

(17135-171)/99000 à 16964/99000.

Espero que este pequeno artigo te ajude, conte comigo!

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