Pílulas de Matemática Financeira (1)

O falso Desconto Simples

Matemática Financeira
Pílulas de Matemática Financeira (1)
Milton A.
em 14 de Junho de 2018

"Os números governam o mundo." [Platão]

 
 
 
falso Desconto Simples...

DICA: Não use calculadora para estudar para Concursos Públicos!
Prezados,
 
Saibam que mais de 90% dos livros de Matemática Financeira não foram escritos por matemáticos...

Que utilidade tem essa informação para mim? (Você deve estar pensando.)

Muita... Os Matemáticos costumam adotar o rigor conceitual em seus alfarrábios, e se recusam a escrever materiais didáticos com erros. A Matemática Financeira é portadora de dois enormes erros conceituais. Um deles será tratado aqui.


Conceitos básicos

Juro: valor do dinheiro ao longo do tempo.

Juro Simples: apenas o capital gera juros.

Juros Compostos: os juros são gerados sobre valores que normalmente já possuem parcela de juros embutida. Em outras palavras: juros sobre juros.

Antes de qualquer coisa, devemos sempre observar que a taxa (i) e o prazo (n) devem estar sempre na mesma referência de tempo.

Podemos esquematizar toda a Matemática Financeira, pela figura a seguir:

Figura 1

O Capital fica localizado na "data focal zero".

O Montante fica na "data focal n". Data focal é qualquer data que fique à direita da data focal zero na linha do tempo.

Quando o valor é deslocado para a direita na linha do tempo, ele deve ser multiplicado pelo fator de juros. Em juros simples, esse fator é dado pela expressão (1 + i.n).

Quando o valor é deslocado para a esquerda na linha do tempo, ele deve ser dividido pelo fator de juros.

Visto de outra forma: quando o deslocamento é para a direita, diz-se que o valor foi capitalizado. Quando o deslocamento é para a esquerda, diz-se que o valor foi descontado ou descapitalizado.


Desconto Bancário ou Comercial 'Simples' (?)

A fórmula para o cálculo dos juros simples é:

J = C . i . n                         (1)

Onde:
J é o juro;
é o capital;
i é a taxa de juros;
é o prazo da operação.

Note que a fórmula acima segue o conceito de juros simples, que diz que o juro é calculado sobre o capital.

A fórmula do Montante (M) é a seguinte:

M = C + J                           (2)

Observe que, se colocarmos o montante no lugar do capital na fórmula (1) acima, estaríamos cometendo um erro conceitual:

J = M . i . n, pois estaríamos calculando um juro simples sobre um valor que já tem juros embutidos nele.

Agora veja qual é a fórmula utilizada para o cálculo do desconto bancário ou comercial:

D = N . d . n                         (3)

Onde:
é o valor do desconto;
é o valor nominal do título;
é a taxa;
é o prazo de antecipação do título.

Observações:
(1) O valor nominal (N) de um título já possui juros embutidos, pois está na data focal n.

(2) Na fórmula do desconto bancário, o nome da taxa foi modificado para "taxa de desconto". Ora, em se tratando de Matemática Financeira, a taxa usada para capitalizar é a mesma que se usa para descontar ou descapitalizar. Qual seria a utilidade aqui em se modificar o nome da taxa?

(3) Compare as fórmulas (1) e (3) e perceba que se trata da mesma fórmula:

J = C . i . n                         (1)
D = N . d . n                       (3)

Na fórmula (3), calcula-se um juros simples, que é chamado de desconto, sobre um valor que já tem juros embutidos (N). Conclui-se, portanto, que se trata de juros compostos, e não simples...

O cálculo do valor atual é feito pela fórmula:

A = N - D                          (4)

O desconto bancário também é chamado de desconto "por fora". Podemos também chamá-lo de falso desconto simples.


O verdadeiro desconto simples

O verdadeiro desconto simples é o Desconto Racional, ou "por dentro".

Tomemos a fórmula do Montante em juros simples:

M = C . (1 + i . n)                    (5)

Colocando-se o valor Nominal (N) do título no lugar do Montante (M) e o valor Atual (A) do título no lugar do Capital (C), teremos a fórmula do Desconto Racional Simples:

N = A . (1 + i . n)                    (6)

Lembre-se de que o valor Atual (A) do título está na data focal zero na linha do tempo e o valor Nominal (N) está na data focal n (Figura 1).

Para o cálculo do Desconto racional, usamos a fórmula:

D = N - A                               (7)

Note que a fórmula acima é derivada diretamente da fórmula (4).

Exemplo:

ANPAD 2008 - Um título de valor nominal de R$ 5.300,00 foi descontado à taxa de 18% a.a. Se o resgate do título foi executado quatro meses antes do vencimento, o desconto racional foi de
A) R$ 300,00
B) R$ 350,00
C) R$ 400,00
D) R$ 450,00
E) R$ 500,00

Solução/Comentários:

O comando da questão solicita o cálculo do desconto racional.

Mas, antes de qualquer coisa, deveremos colocar a taxa (i) e o prazo (n) na mesma referência de tempo: 18% a.a. equivalem a 1,5% a. m.

Utilizaremos a fórmula (6), na qual calcularemos o valor Atual (A) do título para, depois, calcular o valor do Desconto (D) pela fórmula (7):

N = A . (1 + i . n)

Substituindo-se os dados:

5300 = . (1 + 0,015 . 4)

5300 = 1,06 . A

A = 5300/1,06

= 5000

Cálculo do Desconto:

D = N - A

Substituindo-se os dados:

D = 5300 - 5000

D = 300

Resposta: alternativa A.

Vamos calcular também o valor do Desconto bancário para essa mesma questão, com o uso da fórmula (3):

D = N . d . n

D = 5300 . 0,015 . 4

D = 318

Observe que o desconto bancário é maior do que o desconto racional...

Abraços e Sucesso!
Prof. Milton Araújo.
 
Porto Alegre / RS
Mestrado: Engenharia Elétrica/Eletrônica (UFRGS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul)
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Olá, tudo bem? Sou o Prof. Milton Araújo, formado em Engenharia Elétrica pela UFRGS, Mestre em Sistemas também pela UFRGS. Ministro aulas de Matemática desde os 12 anos. Já fui professor universitário (UFRGS, UNIFIN, FGV-RS e FADERGS). Também fui examinador de Concursos Públicos (FUNDATEC, FDRH, ...
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