Saibam que mais de 90% dos livros de Matemática Financeira não foram escritos por matemáticos...
Que utilidade tem essa informação para mim? (Você deve estar pensando.)
Muita... Os Matemáticos costumam adotar o rigor conceitual em seus alfarrábios, e se recusam a escrever materiais didáticos com erros. A Matemática Financeira é portadora de dois enormes erros conceituais. Um deles será tratado aqui.
Conceitos básicosJuro: valor do dinheiro ao longo do tempo.
Juro Simples: apenas o capital gera juros.
Juros Compostos: os juros são gerados sobre valores que normalmente já possuem parcela de juros embutida. Em outras palavras: juros sobre juros.
Antes de qualquer coisa, devemos sempre observar que a taxa (
i) e o prazo (
n) devem estar sempre na mesma referência de tempo.
Podemos esquematizar toda a Matemática Financeira, pela figura a seguir:
 |
| Figura 1 |
O Capital fica localizado na "data focal zero".
O Montante fica na "data focal
n". Data focal
n é qualquer data que fique à direita da data focal zero na linha do tempo.
Quando o valor é deslocado
para a direita na linha do tempo, ele deve ser
multiplicado pelo fator de juros. Em juros simples, esse fator é dado pela expressão (1 +
i.n).
Quando o valor é deslocado
para a esquerda na linha do tempo, ele deve ser
dividido pelo fator de juros.
Visto de outra forma: quando o deslocamento é
para a direita, diz-se que o valor foi
capitalizado. Quando o deslocamento é
para a esquerda, diz-se que o valor foi
descontado ou
descapitalizado.
Desconto Bancário ou Comercial 'Simples' (?)
A fórmula para o cálculo dos juros simples é:
J = C . i . n (1)
Onde:
J é o juro;
C é o capital;
i é a taxa de juros;
n é o prazo da operação.
Note que a fórmula acima segue o conceito de juros simples, que diz que o juro é calculado sobre o capital.
A fórmula do Montante (M) é a seguinte:
M = C + J (2)
Observe que, se colocarmos o montante no lugar do capital na fórmula (1) acima, estaríamos cometendo um
erro conceitual:
J = M . i . n, pois estaríamos calculando um juro simples sobre um valor que já tem juros embutidos nele.
Agora veja qual é a fórmula utilizada para o cálculo do desconto bancário ou comercial:
D = N . d . n (3)
Onde:
D é o valor do desconto;
N é o valor nominal do título;
d é a taxa;
n é o prazo de antecipação do título.
Observações:
(1) O valor nominal (N) de um título já possui juros embutidos, pois está na data focal
n.
(2) Na fórmula do desconto bancário, o nome da taxa foi modificado para "taxa de desconto". Ora, em se tratando de Matemática Financeira,
a taxa usada para capitalizar é a mesma que se usa para descontar ou descapitalizar. Qual seria a utilidade aqui em se modificar o nome da taxa?
(3) Compare as fórmulas (1) e (3) e perceba que se trata da mesma fórmula:
J = C . i . n (1)
D = N . d . n (3)
Na fórmula (3), calcula-se um juros simples, que é chamado de desconto, sobre um valor que já tem juros embutidos (N). Conclui-se, portanto, que se trata de juros compostos, e não simples...
O cálculo do valor atual é feito pela fórmula:
A = N - D (4)
O desconto bancário também é chamado de desconto "por fora". Podemos também chamá-lo de
falso desconto simples.
O verdadeiro desconto simplesO verdadeiro desconto simples é o Desconto Racional, ou "por dentro".
Tomemos a fórmula do Montante em juros simples:
M = C . (1 + i . n) (5)
Colocando-se o valor Nominal (N) do título no lugar do Montante (M) e o valor Atual (A) do título no lugar do Capital (C), teremos a fórmula do Desconto Racional Simples:
N = A . (1 + i . n) (6)
Lembre-se de que o valor Atual (A) do título está na data focal zero na linha do tempo e o valor Nominal (N) está na data focal
n (Figura 1).
Para o cálculo do Desconto racional, usamos a fórmula:
D = N - A (7)
Note que a fórmula acima é derivada diretamente da fórmula (4).
Exemplo:
ANPAD 2008 - Um título de valor nominal de R$ 5.300,00 foi descontado à taxa de 18% a.a. Se o resgate do título foi executado quatro meses antes do vencimento, o desconto racional foi de
A) R$ 300,00
B) R$ 350,00
C) R$ 400,00
D) R$ 450,00
E) R$ 500,00
Solução/Comentários:O comando da questão solicita o cálculo do desconto racional.
Mas, antes de qualquer coisa, deveremos colocar a taxa (
i) e o prazo (
n) na mesma referência de tempo: 18% a.a. equivalem a 1,5% a. m.
Utilizaremos a fórmula (6), na qual calcularemos o valor Atual (A) do título para, depois, calcular o valor do Desconto (D) pela fórmula (7):
N = A . (1 + i . n)
Substituindo-se os dados:
5300 =
A . (1 + 0,015 . 4)
5300 = 1,06 .
A
A = 5300/1,06
A = 5000
Cálculo do Desconto:
D = N - A
Substituindo-se os dados:
D = 5300 - 5000
D = 300
Resposta: alternativa A.
Vamos calcular também o valor do Desconto bancário para essa mesma questão, com o uso da fórmula (3):
D = N . d . n
D = 5300 . 0,015 . 4
D = 318
Observe que o desconto bancário é maior do que o desconto racional...
Abraços e Sucesso!
Prof. Milton Araújo.
